INVESTIGACIÓN DE DETERMINANTES

investigación de determinantes

Felix Francisco Vega MereciasGrupo 1115

¿qué son las determinantes?

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz.

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tipos de determinantes

determinante de orden 2

Aquí se muestra más información sobre este tipo de determinante

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determinante de orden 1

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determinante de orden 3

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determinante de orden mayor

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métodos de solución

Método de Gauss-Jordan

Método de estrella

Regla de Cramer

Determinante para matriz 1x1

Por menores y cofactores

Regla de Laplace

Determinante básico de matriz 2x2

Regla de Sarrus

Referencias

Por menores y cofactores

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij que se indica con Mij define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésimo fila y la j-ésima columna de A.

Cofactor. Son los elementos que pertenecen a la fila o columna que escogimos el signo de este se define por su posición (ij).Si i+j es par será positivo y si i+j es impar será negativo.Menor. Vamos a llamar menor al determinante que se forma de los elementos que no se encuentran ni en la fila o columna del cofactor.

1. Para este método debemos escoger una fila o una columna, preferentemente la fila o columna que mayor cantidad de ceros tenga.

2. Para hallar el menor del elemento aij debemos quitar la fila i y la columna j, entonces tenemos un determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento aij y así realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores términos o tenga ceros en su mejor caso

3. Se prosigue a la multiplicación de los cofactores por su respectivo menor y se suman los resultados para llegar al valor del determinante.

Método de estrella

En este método es muy parecido a Sarrus, pero aquí no se aumenta ni filas ni columnas. Directamente pasamos a multiplicar manteniendo el criterio de seguir las diagonales para lo cual se debe observar el camino que estas siguen.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Método de Gauss-Jordan

El método consiste en aplicar operaciones elementales fila, es decir, cualquier fila se puede multiplicar por cualquier número (distinto de cero) o se le puede sumar o restar cualquier otra fila multiplicada o no por cualquier número. No se puede restar una fila a ella misma. También puede intercambiarse el orden de las filas. El proceso debe aplicarse hasta que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o en forma escalonada reducida (método Gauss-Jordan) de la matriz ampliada.

1. Identificamos el sistema al cual se aplicara el método.

2. Creamos la matriz ampliada del sistema.

3. A fila 1 le restamos dos veces la fila 3 y a la fila 2 le restamos la fila 3.

4. A la fila 1 le restamos la fila 2.

5. Dividimos la fila 1 entre 3.

6. A la fila 3 le sumamos la fila 1 y a la fila 2 le restamos dos veces la fila 1.

7. Dividimos la fila 2 entre 3.

8. A la fila 3 le sumamos la fila 2.

9. Reordenamos las 3 filas.

10. Tenemos resuelto el sistema porque la matriz obtenida es la solución.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es una forma de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, al igual que los métodos sustitución e igualación, este método permite obtener el resultado de un sistema de ecuaciones en unos simples pasos. Los pasos que se tienen que seguir son los siguientes:

1. Se prepara la matriz de los coeficientes y se halla el determinante. Identificamos los coeficientes de las incógnitas y construimos la matriz M con ellos.

Calculamos la determinante con la misma regla básica de matriz 2x2.

2. Se prepara la matriz de la incógnita x, y se halla el determinante. La matriz de la incógnita X es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los coeficientes de X, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.

Tenemos la Matriz de X, y procedemos a calcular su determinante:

3. Se prepara la matriz de la incógnita Y, y se halla el determinante. La matriz de la incógnita Y es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En lugar de colocar los coeficientes de Y, se ubican los valores numéricos que quedaron al otro lado de las ecuaciones.

Tenemos la Matriz de Y, y procedemos a calcular su determinante:

4. Hallamos el valor de las incógnitas. El valor de Y va a ser igual al determinante de la matriz Y dividido en el determinante de la matriz de coeficientes. El valor de X va a ser igual al determinante de la matriz X dividido en el determinante de la matriz de coeficientes.

5. Verificación de la solución del sistema. Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos.

Determinante de orden 3

Un determinante de orden 3 es una matriz de dimensión 3×3 representada con una barra vertical a cada lado de la matriz. Contiene tres filas y tres columnas como se ve a continuación:

Regla de Laplace

La regla o desarrollo de Laplace permite calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se utiliza para dimensión mayor que 3. Existen dos versiones de la regla: desarrollo por filas y desarrollo por columnas. Se escoge siempre la fila o la columna que más 0 tenga (en caso de haberlos), para evitar tantas operaciones.

Desarrollo por filas. La fórmula para el desarrollo por la fila i de la matriz A es:

Aplicamos el desarrollo por la fila 1 de la siguiente matriz de dimensión 3:

Desarrollo por columnas. El desarrollo por columnas es análogo. La fórmula para el desarrollo por la columna j es:

El procedimiento es similar al desarrollo por filas, solo que en este caso se hará con las columnas de la matriz.

Regla de Sarrus

Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la respectiva matriz inicial.

1. Para aplicar este método se deben aumentar dos filas o dos columnas a continuación del determinante.

2. Se multiplican los elementos de las diagonales principales y los de las diagonales secundarias pero el resultado de estos va con el signo cambiado.

3. Se suman los resultados de las multiplicaciones y ese es el valor del determinante.

= 6 + 20 +0 -72 -0 -20 = -66

Determinante de orden mayor

Una determinante de orden mayor es una matriz de dimensiones superiores a la 3x3, como llega a ser una de 4x4, también se le conoce de esta manera.

Determinante de orden 1

Un determinante de orden 1 es una matriz de dimensión 1×1, es decir de una fila y una columna, representada con una barra vertical a cada lado de la matriz.

Determinante para matriz 1x1

Cuando la matriz es de dimensión 1, el determinante de dicha matriz solo tiene un elemento. Por tanto, el resultado del determinante es el propio elemento en sí.

Determinante básico de matriz 2x2

Para calcular el determinante de una matriz 2×2 tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria.

Determinante de orden 2

Un determinante de orden 2 es una matriz de dimensión 2×2 representada con una barra vertical a cada lado de la matriz. Como tiene dos filas y dos columnas escribiremos:

Referencias

Determinantes. (s/f). Matemática Informática y Educación. Recuperado el 24 de noviembre de 2023, de https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/algebra-lineal/determinantes/ ▷¿Cuál es el DETERMINANTE de una matriz 1x1? ✅ (ejemplos). (2020, junio 26). matrices y determinantes. https://www.matricesydeterminantes.com/determinante-de-una-matriz/calcular-el-determinante-de-una-matriz-1x1-ejemplos-determinantes/ Cómo calcular el determinante de una matriz 2x2 (ejercicios resueltos). (2020, abril 1). matrices y determinantes. https://www.matricesydeterminantes.com/determinante-de-una-matriz/determinantes-2x2-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ Calcular el determinante de una matriz 3×3 con la Regla de Sarrus. (2020, abril 1). matrices y determinantes. https://www.matricesydeterminantes.com/determinante-de-una-matriz/determinantes-3x3-regla-de-sarrus-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ Cómo calcular el determinante de una matriz 4×4 por adjuntos o cofactores. (2020, abril 2). matrices y determinantes. https://www.matricesydeterminantes.com/determinante-de-una-matriz/determinantes-4x4-por-adjuntos-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ Manuel. (2019, marzo 20). Sistema de Ecuaciones 2x2 - Regla de Cramer (Método de las Determinantes) - Mates Fáciles. Mates Fáciles. https://lasmatesfaciles.com/2019/03/20/sistema-de-ecuaciones-2x2-regla-de-cramer-metodo-de-las-determinantes/ Veloso, C. (2017, noviembre 29). ▷ Método de Determinantes - Resolución de Ecuaciones. Tutoriales de Electrónica | Matemática y Física; Cristian Veloso. https://www.electrontools.com/Home/WP/metodo-de-determinantes-o-metodo-de-cramer/ Determinantes, métodos de resolución, desarrollo por menores y cof. (s/f). Slideshare.net. Recuperado el 25 de noviembre de 2023, de https://es.slideshare.net/algebralineal/determinantes-mtodos-de-resolucin-desarrollo-por-menores-y-cof Determinantes. (s/f-b). Slideshare.net. Recuperado el 25 de noviembre de 2023, de https://es.slideshare.net/algebra_lineal/determinantes-14322147 Eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. (s/f). Problemasyecuaciones.com. Recuperado el 25 de noviembre de 2023, de https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/metodo-eliminacion-gauss-jordan-matrices-sistemas-ecuaciones-lineales-resueltos-ejemplos-matriz.html /u/matesfacil. (s/f). Eliminación de Gauss - Jordan. GeoGebra. Recuperado el 25 de noviembre de 2023, de https://www.geogebra.org/m/audTn7pS Determinantes de matrices (reglas y fórmula de Laplace). (s/f). Problemasyecuaciones.com. Recuperado el 25 de noviembre de 2023, de https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/determinantes-matrices-reglas-Sarrus-Laplace-ejemplos-matriz.html

¿Cómo se representan?

Recordemos que llamamos dimensión de una matriz al número de filas y columnas que tiene (m x n) y si la matriz es cuadrada tendrá el mismo número de filas que de columnas y la representamos por (n x n). Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por |A| (las barras no significan valor absoluto). Casi igual que las matrices, en lugar de utilizar grandes paréntesis como:

Los elementos en los determinantes se colocan entre dos rayas verticales y el nombre también: