Ortogonalización de Gram-Schmidt.

Algebra líneal

Ortogonalización de Gram-Schmidt.

Empezar

1. Introducción

ÍNDICE

2. Proyección y Vector ortogonal

3. Proceso de Gram-Schmidt

4. Ejemplo

5. Ejercicio

6. Características

7. Aplicaciones

8. Referencias

Introducción

La ortogonalización se utiliza para construir una base ortonormal a partir de una base no euclídea, la cual es una base de vectores que son ortogonales entre sí y tienen una longitud de 1. Se usa por la facilidad de trabajar con vectores ortogonales.

La línea guía de la proyección nos permite construir un vector perpendicular al vector u usando la proyección de u sobre v. Siendo la resta del vector u menos la proyección que del mismo en v, un vector ortogonal al vector v.

Proyección y Vector ortogonal

La proyección vectorial de un vector u sobre un vector v es un vector que va en la dirección de v y tiene una magnitud igual a cuánto del vector u va en la dirección de v. Como la sombra de v sobre u.

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Su proyección se define por:

Proceso de Gram-Schmidt

Dado un conjunto: , que puede ser una base de conjuntos o vectores independientes del espacio vectorial. Queremos convertirlo a:

ortogonales del mismo espacio venctorial. Cada valor de W está denotado por la siguiente formula.

Ejemplo

Determinar una base ortonormal a partir del siguiente conjunto de vectores de R3

Ejercicio

Determinar una base ortonormal a partir del siguiente conjunto de vectores de R³:

Características

1. Es un algoritmo que se utiliza para construir una base ortonormal usando un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial con producto interno.
2. Se puede utilizar para cualquier conjunto de vectores, y el resultado es una base ortonormal que genera el mismo subespacio vectorial.
3. El primer vector de la base ortonormal es simplemente el vector unitario que apunta en la dirección de v1.

Aplicaciones

El proceso de Gram-Schmidt es útil en la teoría de la aproximación, donde se utiliza para aproximar funciones por medio de polinomios ortogonales. Siendo una herramienta poderosa y versátil en el álgebra lineal que tiene muchas aplicaciones prácticas en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas científicas.

Referencias

AYRES, F., & GERBER, H. (1978). Algebra Lineal. Editorial Mc Graw Hill. Grossman, S., & Stanley, I. (2019). Álgebra lineal.

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