Esferas de Dandelin

Esferas de Dandelin

Cónicas Integrantes

Índice

1. Cónicas

6. Hipatía

7. Esferas de Dandelín

2. Características

8. Dandelín

3. Método del jardinero

4. Timeline

9. Teoremas

5. Secciones cónicas

10. Demostración (video)

Cónicas

Una cónica es la curva obtenida como intersección de un plano, llamado plano de corte, con la superficie de un cono doble (un cono con dos nudos).

Características de las cónicas y elementos

Centro: El centro de una cónica es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Circunferencia

Ejes: Las cónicas tienen ejes de simetría que pasan por su centro.

Elipse

Focos: Los focos son puntos especiales que definen la forma de la cónica.

Parabóla

Directrices: Las directrices son rectas que también definen la forma de la cónica.

Hiperbóla

Método del jardinero

Las elipses son el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. A un jardinero se le encargo construir un jardín de flores en un terreno que mide 3 x 5 metros, la dueña de la casa quiere que la forma del jardín sea una elipse y que ocupe la mayor cantidad de terreno ¿Qué tendrá que hacer el jardinero para cumplir con su trabajo? Un astrónomo alemán del siglo XVI llamado Johanes Kepler lo descubrió. En un lugar donde haya arena o tierra podremos trazar nuestras elipses. Consigue tres palitos de madera, metal o cualquier material que sea lo suficientemente resistente, y una cuerda.

Ahora empecemos!!!

Historia

Menecmo 350 a.c

Apolonio “El gran geómetra” 262 a.c - 190 a.c

Euclides “Padre de la geometría” 235 a.c - 256 a.c

Gracias a las soluciones cuadráticas mediante áreas pitagóricas, se basó para asignar el nombre de parábola, elipse e hipérbola.

Fue el primero en hacer alusión a las cónicas, gracias a su interés por el Problema de Delos, halló dichas curvas “La Triada de Menecmo” las cuales son secciones en un cono generadas mediante planos perpendiculares a las mediatrices.

Realizó amplias labores en Alejandría y en Egipto, creó una de las obras más importantes de la Historia de las matemáticas "Elementos”, entre otros escribió sobre secciones cónicas, geometría esférica y superficies cuadráticas.

De las cónicas

Jan de Witt 1625 - 1672

Arquimides 287 a.c - 212 a.c

Rene Descartes 1596 - 1650

Pierre de Fermat 1601 - 1665

En su libro “Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum” expone sus estudios sobre tangentes a una curva, el iniciaba con una ecuación algebraica y derivaba propiedades geométricas de la curva correspondiente.

En el siglo XVII se propuso crear un método para resolver la geometría griega, con este fin incorporo las figuras geométricas a un par de líneas

Tuvo diferentes aportes de gran relevancia como la palanca o la rueda dentada.Uno de sus aportes fue la cuadratura de una parábola, basándose en una combinación mecánica y geométrica

En su obra “Elementa curvarum linearum” inicia a utilizar los términos foco y directriz para el estudio de cónicas.

Secciones cónicas de hipatía

En matemática, y concretamente en geometría, se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano;​ si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Hipatia “La dama de las ciencias” 370 - 415

Hipatia fue una filósofa, astrónoma y matemática; asimismo el símbolo ideal griego, reunía sabiduría, belleza, razón, pensamiento filosófico y un papel político importante. Trabajo en la geometría de la cónicas de Apolonio, en ocho tomos recogiendo el conocimiento que se tenía sobre las cónicas del siglo XVII, demostró que de las cónicas se pueden obtener cuatro tipos de secciones de un cono simplemente cambiando la inclinación, definió las cónicas como distintos tipos de curvas e incluso los diferenció de el círculo, la elipse, parabola e hiperbola.

Esferas de dandelín

En geometría, a las curvas formadas por la intersección de un plano con un cono se les llama secciones cónicas. Siempre existen uno o dos esferas interiores al cono que son simultáneamente tangentes al plano y al cono, estas son las denominadas esferas de Dandelin.

Germinal Pierre Dandelin 1794 - 1847

Realizó sus estudios en Gante, al mudarse a París continuó con ellos, a pesar de verse involucrado en la situación política de Europa dedico tiempo a las matemáticas, gracias a dicho interés surge lo que conocemos como “Teorema de Dandelin”, en el que definió los conceptos de focos y directriz, incluso visualizo las secciones cónicas mediante una representación espacial. En 1826 generalizó el teorema, en un hiperboloide de revolución en lugar de la superficie cónica, del mismo modo lo relaciono con el triángulo de Pascal, el hexágono de Briachon y el hexágono formado por los generadores del hiperboloide. Luego de esto creó un método “Dandelin-Graffe” en el que aproxima raíces de una ecuación algebraica, trabajo en temas de estática, y álgebra

Teorema de dandelín

• El Teorema de Dandelin demuestra que los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con dos esferas que están inscritas en la superficie cónica y son además tangentes a dicho plano.

Teoremas de dandelín

Teorema 1

Teorema 2

Demostración del teorema

El teorema de Dandelin (1822) prueba que si se corta un cono por un plano, los focos de la cónica obtenida son los puntos donde este plano toca a las esferas de Dandelin. Este trabajo lo realizó en colaboración con Lambert Adolphe Jacques Quetelet.

Frase

“El universo es una esfera infinita cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna.” — Blaise Pascal Matemático, físico, filósofo cristiano y escritor 1623–1662

gracias por su atención

Integrantes

Dominguez Neri Jonathan Emmanuel CHalico Iván Dalton Elizalde

Elipse

Es el lugar geométrico en el plano de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, denominados focos, es constante.

Circunferencia

: Es el lugar geométrico en el plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.

Apolonio

Su gran obra es “Las Cónicas”, consta de ocho libros que recolectan la información sobre secciones cónicas, él utilizó el mismo cono para realizar las secciones, simplemente cambiaba la inclinación de cada plano, incluso pudo obtener dichas secciones por conos oblicuos y rectos, del mismo modo uso un cono de doble hoja.

René Descartes

Asigno los puntos de las figuras a dos números, de manera que logró unir la geometría con el algebra, dando origen a la “Geometria Analitica” el método que permite asociar ecuaciones algebraicas a las curvas, presenta estos principios en “El discurso del método”.

Esferas

El segundo teorema es que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría, pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba.

Parabóla

Es una cónica que abre hacia arriba o hacia abajo. Es simétrica verticalmente y su vértice puede estar en el origen.

Construyendo elipses

• Consigue tres palitos de madera, metal o cualquier material que sea lo suficientemente resistente, y una cuerda, dependiendo del tamaño de la cuerda será el tamaño de las elipses.
• Ata uno de los palitos a la cuerda y amarra los dos extremos de la cuerda, de tal manera que tengas una cuerda cerrada. Este palito será tu lápiz.
• Clava los otros dos palos en la arena, atraviesa la cuerda sobre de ellos de tal manera que se pueda mover libremente, por último estira la cuerda de manera que el palo atado a ella te sirva de guía, gira sin dejar de estirarla. La figura resultante será una elipse.

Hiperbóla

Tiene dos focos y la distancia entre los focos es constante. La forma puede variar desde un círculo perfecto hasta una forma más estirada.

Esferas

Las esferas de Dandelin fueron descubiertas en 1822. Fueron nombradas así en honor al matemático belga Germinal Pierre Dandelin, aunque a Adolphe Quetelet a veces se le da también crédito parcial. Las esferas de Dandelin pueden ser usadas para probar al menos dos importantes teoremas. Ambos teoremas eran ya conocidos unos 15 o 16 siglos antes de Dandelin, pero él hizo más sencillo el modo de probarlos.

• El primer teorema es que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga, pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema.