Ortogonalidad y Producto interno

Álgebra Lineal

Ortogonalidad y Producto Interno

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Elvis AzuajeV- 31.838.932

ORTOGONALIDAD

En geometría, dos objetos se consideran ortogonales si son perpendiculares entre sí. Por ejemplo, en un plano bidimensional, dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90 grados entre sí. En un espacio tridimensional, dos vectores serían ortogonales si son perpendiculares en cada una de las tres dimensiones.

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aplicaciones de la ortogonal

1. Descomposición ortogonal

2. Bases ortogonales y ortonormales

3. Proyección ortogonal

4. Ortogonalización de Gram-Schmidt

5. Ortogonalidad en sistemas de ecuaciones lineales

6. Transformaciones ortogonales

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bases ortogonales y ortonormales

descomposición ortogonal

Dado un conjunto de vectores, es posible descomponer cualquier vector en una combinación lineal de los vectores ortogonales a través de un proceso conocido como descomposición ortogonal.

Un conjunto de vectores ortogonales puede formar una base para un espacio vectorial. Si además estos vectores tienen una longitud unitaria (norma igual a 1), se denominan ortonormales.

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Ortogonalización de Gram-Schmidt

proyección ortogonal

Dado un vector y una base ortogonal, es posible encontrar la proyección ortogonal de ese vector sobre el subespacio generado por la base

Es un algoritmo que toma un conjunto de vectores linealmente independientes y los transforma en una base ortogonal o ortonormal.

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Transformaciones ortogonales

Ortogonalidad en sistemas de ecuaciones lineales

Dado un vector y una base ortogonal, es posible encontrar la proyección ortogonal de ese vector sobre el subespacio generado por la base

La ortogonalidad en particular, en el método de mínimos cuadrados, se utiliza la ortogonalidad para encontrar la mejor aproximación de un sistema sobredeterminado.

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PRODUCTO INTERNO

El producto interno es una operación algebraica que toma dos vectores y devuelve un número escalar. También se le conoce como producto punto o producto escalar. En el contexto de un espacio vectorial real, el producto interno de dos vectores se denota como ⟨u, v⟩.

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características del producto interno

Conmutatividad

lo que significa que el orden en el que se multiplican los vectores no afecta el resultado.

Distributividad

El producto interno es distributivo respecto a la adición de vectores. Esto significa que si tienes tres vectores a, b y c, entonces (a + b) · c = a · c + b · c.

Linealidad

El producto interno es lineal respecto a la suma de vectores y a la multiplicación por un escalar. Esto significa que para cualquier vector a, b y c, y cualquier escalar k, se cumple que (k * a) · b = k * (a · b) y (a + c) · b = a · b + c · b.

Ortogonalidad

Dos vectores a y b son ortogonales si su producto interno es cero, es decir, a · b = 0. Esta propiedad es fundamental en el concepto de perpendicularidad y es ampliamente utilizada en geometría y física.

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IMPORTANCIA

Geometría y vectores

Establece el concepto de perpendicularidad. Esto permite definir ángulos rectos y desarrollar conceptos como la proyección ortogonal y la descomposición ortogonal de vectores.

Álgebra lineal

Proporciona una manera de medir la similitud o la diferencia entre vectores y permite definir conceptos como normas vectoriales y distancias.

Análisis numérico

La ortogonalidad y el producto interno se utilizan en métodos numéricos, como el método de mínimos cuadrados, para aproximar soluciones de sistemas sobredeterminados y encontrar la mejor aproximación a un conjunto de datos.

Procesamiento de señales e imágenes

El concepto de ortogonalidad es ampliamente utilizado en el procesamiento de señales e imágenes.

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dato curioso

El producto interno permite calcular magnitudes, distancias y ángulos en un espacio vectorial. Los espacios vectoriales con estas propiedades se llaman espacios prehilbertianos.

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ejercicios resueltos

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¡Muchas gracias!

En resumen, la ortogonalidad y el producto interno son conceptos esenciales en geometría y álgebra lineal. La ortogonalidad se basa en el producto interno y permite definir la noción de perpendicularidad en espacios vectoriales abstractos. El producto interno y la ortogonalidad tienen numerosas aplicaciones en diversas áreas, como descomposición ortogonal, proyección ortogonal, bases ortogonales, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones ortogonales. Estos conceptos son fundamentales para comprender y analizar estructuras vectoriales en diversas disciplinas científicas y tecnológicas.