Ortogonalidad y Producto interno

Elvis AzuajeV- 31.838.932

Álgebra Lineal

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Ortogonalidad y Producto Interno

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ORTOGONALIDAD

En geometría, dos objetos se consideran ortogonales si son perpendiculares entre sí. Por ejemplo, en un plano bidimensional, dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90 grados entre sí. En un espacio tridimensional, dos vectores serían ortogonales si son perpendiculares en cada una de las tres dimensiones.

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5. Ortogonalidad en sistemas de ecuaciones lineales

4. Ortogonalización de Gram-Schmidt

3. Proyección ortogonal

2. Bases ortogonales y ortonormales

6. Transformaciones ortogonales

1. Descomposición ortogonal

aplicaciones de la ortogonal

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Un conjunto de vectores ortogonales puede formar una base para un espacio vectorial. Si además estos vectores tienen una longitud unitaria (norma igual a 1), se denominan ortonormales.

bases ortogonales y ortonormales

Dado un conjunto de vectores, es posible descomponer cualquier vector en una combinación lineal de los vectores ortogonales a través de un proceso conocido como descomposición ortogonal.

descomposición ortogonal

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Es un algoritmo que toma un conjunto de vectores linealmente independientes y los transforma en una base ortogonal o ortonormal.

Ortogonalización de Gram-Schmidt

Dado un vector y una base ortogonal, es posible encontrar la proyección ortogonal de ese vector sobre el subespacio generado por la base

proyección ortogonal

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La ortogonalidad en particular, en el método de mínimos cuadrados, se utiliza la ortogonalidad para encontrar la mejor aproximación de un sistema sobredeterminado.

Ortogonalidad en sistemas de ecuaciones lineales

Dado un vector y una base ortogonal, es posible encontrar la proyección ortogonal de ese vector sobre el subespacio generado por la base

Transformaciones ortogonales

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PRODUCTO INTERNO

El producto interno es una operación algebraica que toma dos vectores y devuelve un número escalar. También se le conoce como producto punto o producto escalar. En el contexto de un espacio vectorial real, el producto interno de dos vectores se denota como ⟨u, v⟩.

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Dos vectores a y b son ortogonales si su producto interno es cero, es decir, a · b = 0. Esta propiedad es fundamental en el concepto de perpendicularidad y es ampliamente utilizada en geometría y física.

El producto interno es distributivo respecto a la adición de vectores. Esto significa que si tienes tres vectores a, b y c, entonces (a + b) · c = a · c + b · c.

El producto interno es lineal respecto a la suma de vectores y a la multiplicación por un escalar. Esto significa que para cualquier vector a, b y c, y cualquier escalar k, se cumple que (k * a) · b = k * (a · b) y (a + c) · b = a · b + c · b.

características del producto interno

lo que significa que el orden en el que se multiplican los vectores no afecta el resultado.

Ortogonalidad

Linealidad

Distributividad

Conmutatividad

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El concepto de ortogonalidad es ampliamente utilizado en el procesamiento de señales e imágenes.

Proporciona una manera de medir la similitud o la diferencia entre vectores y permite definir conceptos como normas vectoriales y distancias.

La ortogonalidad y el producto interno se utilizan en métodos numéricos, como el método de mínimos cuadrados, para aproximar soluciones de sistemas sobredeterminados y encontrar la mejor aproximación a un conjunto de datos.

IMPORTANCIA

Establece el concepto de perpendicularidad. Esto permite definir ángulos rectos y desarrollar conceptos como la proyección ortogonal y la descomposición ortogonal de vectores.

Procesamiento de señales e imágenes

Análisis numérico

Álgebra lineal

Geometría y vectores

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dato curioso

El producto interno permite calcular magnitudes, distancias y ángulos en un espacio vectorial. Los espacios vectoriales con estas propiedades se llaman espacios prehilbertianos.

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ejercicios resueltos

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¡Muchas gracias!

En resumen, la ortogonalidad y el producto interno son conceptos esenciales en geometría y álgebra lineal. La ortogonalidad se basa en el producto interno y permite definir la noción de perpendicularidad en espacios vectoriales abstractos. El producto interno y la ortogonalidad tienen numerosas aplicaciones en diversas áreas, como descomposición ortogonal, proyección ortogonal, bases ortogonales, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones ortogonales. Estos conceptos son fundamentales para comprender y analizar estructuras vectoriales en diversas disciplinas científicas y tecnológicas.