Fibonacci

È famosissima, perché presenta molte proprietà interessanti. Quella principale (che poi è la caratteristica che la definisce) è il fatto che ogni termine è uguale alla somma dei due precedenti. Ad esempio, 8 = 5 + 3, 13 = 8 + 5,..., 2584 = 1597 + 987, e così via. Basta ricordarsi di partire con 1 e 1 per generare i termini della successione in un battibaleno.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

La successione dei numeri interi di Fibonacci

Tenete anche presente che dal 1963, ogni tre mesi, la Fibonacci Association pubblica sul sito The Fibonacci Quarterly una serie di articoli con nuovi e interessanti risultati.

Sono parole di Edouard Lucas (1842-1891), uno dei più famosi esponenti della matematica ricreativa, inventore del famoso gioco della Torre di Hanoi. Fu lui a scoprire le prime notevoli proprietà della successione di Fibonacci e a darle il nome con la quale ancor oggi è conosciuta in tutto il mondo.

“Ho notato che è una successione di somme parziali. Probabilmente c’è di mezzo Fibonacci”.

La successione di Lucas

La successione di Lucas prende il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842 – 1891) che la ideò e ne studiò le proprietà. In matematica, la successione di Lucas, indicata con L n è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione L 0 =2 e L 1=1Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:L 0 =2;L 1 = 1;L n = L n-1 + L n-2 (per ogni n>1)

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, ...

Il rapporto tra Ln e Ln-1 , per n tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale φ chiamato sezione aurea o numero di Fidia.φ è uguale al rapporto tra 1+√5 e 2, uguale a 1.6180339887...Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.

La successione di Lucas

La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo.La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il numero di Lucas in mezzo.

Teorema di Zeckendorf

rappresentazione di Zeckendorf.

Un numero intero è rappresentato, secondo il matematico, se è espresso come somma di numeri di Fibonacci e se tale somma verifica le seguenti proprietà:-tra gli addendi della somma non compaiono numeri di Fibonacci consecutivi-gli addendi sono distinti, ovvero non ci sono addendi doppioni -tra gli addendi della somma non compaiono F0 e F1

Il teorema di Zeckendorf, dal matematico belga Edouard Zeckendorf, è un teorema sulla rappresentazione di numeri interi come somme di numeri di Fibonacci; esso afferma che ogni intero ha una e una sola rappresentazione di Zeckendorf.

Triangolo di Pascal

Come notò Lucas, dal triangolo di Tartaglia è possibile leggere i numeri di Fibonacci. Infatti, i numeri che costituiscono le diagonali ascendenti di questa matrice triangolare, sommati fra loro, generano la successione di Fibonacci.

Quando Tartaglia e Fibonacci si davano la mano...

I numeri di Fibonacci hanno una vasta gamma di applicazione; oltre che in matematica, anche in altre aree, quali Fisica, Scienze, Informatica, Architettura, Economia, Musica, ecc.

Fibonacci nell'informatica

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel software di molti computer. In particolare nei processori Pentium Intel la sequenza di Fibonacci e le sue proprietà sono usate per velocizzare le operazioni di calcolo.

Un'applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionista di Milano. Prendendo spunto da Fibonacci, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati alcuni rialzi e crolli di borsa.

Fibonacci nell'economia

E' possibile l'impossibile?

Prendendo in considerazione un quadrato 8×8 possiamo dissezionarlo in modo tale da avere delle forme che possino creare un rettangolo 13×5. Come?

64=65 ?

f4

f5

f4

f6

Dissezioniamo il quadrato seguendo i numeri della sucessione di Fibonacci, infatti 8 corrisponde al sesto numero della successione, se ora costruiamo due rettangoli: uno f4 × f6 (3×8) e uno f5 × f6 (5×8). Adesso dissezioniamo nuovamente i due rettangoli, il primo in due triangoli rettangoli tracciando una diagonale e il secondo in due trapezi rettangoli con base minore f4 (3) e base maggiore f5 (5).

Utilizzando queste forme da noi create, costruiamo un rettangolo f5 × f7 (5×13)

f6 + f5 = f7

f5

f4

f5

f4

f6

f4

f5

f6 + f5 = f7

f5

f4

f6

f4

f5

f4

f6

Le due figure sono composte dalle stesse forme e perciò dovrebbero essere equivalenti, ma come potrebbe essere che 8×8 sia uguale a 13×5? Questo è effettivamente impossibile, infatti, quasi indistinguibile, è presente nella diagonale del rettangolo è presente un piccolissimo parallelogramma di area 1 che dimostra che le due figure non hanno la stessa area

64=65 ?

√(f6)2 + (f4)2

h=

Con le conoscenze che abbiamo possiamo ricavare l'altezza del parallelogramma di area 1:

f6 + f5 = f7

f5

f4

f5

f4

f6

Una formula per tutte

(fn +1)2 = fn(fn+2) + (-1)n

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Analizziamo due indovinelli presi dal "Liber Abaci" di Fibonacci

Due viaggiatori

"Due uomini si mettono in cammino per un lungo viaggio a piedi. Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20 miglia , il secondo ne percorre 1 il primo giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via, aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il giorno precedente. Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore raggiungerà il primo?"

Il leone, il leopardo e l'orso:

"Un leone mangia una pecora in 4 ore, un leopardo la mangia in 5 ore e un orso in 6. Se i tre animali mangiano contemporaneamente la stessa pecora, quante ore impiegheranno a finirla?"

I ragazzi di 3G: Patti Lucrezia, Tarda Federica, Triferò Dario.

La principale applicazione del triangolo di Tartaglia riguarda lo sviluppo di una qualsiasi potenza di binomio, infatti gli elementi dell'n-esima riga del triangolo, con n numero naturale maggiore o uguale ad 1, corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza di binomio (a+b)n-1.

Soluzione: se indichiamo con X il numero di giorni di cammino la strada percorsa dal primo viaggiatore sarà 20X, mentre quella del primo sarà X(1+X)/2, quando si incontrano le due lunghezze risultano uguali, per cui X(1+X)/2=20X. Risolvendo l'equazione si ottengono le due soluzioni X = 0 alla partenza X = 39 all' incontro.

F1= 1 F₂ = 1 Fn = F n-1 + Fn-2

Soluzione: Dopo 60 ore (minimo comune multiplo di 4, 5 e 6) il leone avrà mangiato 15 pecore, il leopardo 12 e l'orso 10. Per sapere in quanto tempo divorerebbero una pecora si divide il numero delle ore 60 per il numero delle pecore sbranate (in tutto 37) si ottiene così 60 / 37 di ora, ovvero 1 ora e 23/37.