CI_U2_L6_Infografía interactiva

Derivación de funciones implícitas y de orden superior

Cálculo de la derivada

La derivada es una medida de cómo cambia una función en respuesta a pequeños cambios en su variable independiente.

Reglas de derivación básicas

Existen reglas específicas para derivadas de funciones comunes. Algunas de estas reglas incluyen lo siguiente:

¿Qué es una función implícita?

𝒙2𝟐+𝒚2𝟐=𝟏

𝒚=𝟑𝒙+𝟏

Función implícita

Función explícita

Derivación de funciones implícitas

La derivación de funciones implícitas es una técnica fundamental en cálculo que te permite encontrar la derivada de una función cuando las variables independiente 𝑥 y dependiente 𝑦 no pueden despejarse explícitamente. Para derivar funciones implícitas se aplican las reglas de derivación básicas que se muestran a continuación (Guerrero, 2019):

Derivación de función explícita

Recuerda que…

Derivación de función implícita

Aplicaciones

Derivadas de orden superior

Por otra parte, la derivación de orden superior es una extensión del concepto de derivación que implica calcular derivadas sucesivas de una función. Revisa lo siguiente:

Segunda derivada

Tercera derivada

Aplicaciones

Por último, las derivadas de orden superior tienen aplicaciones reales en problemas de física y geometría. En física, se utilizan para determinar aceleraciones y cambios en la velocidad de un objeto en movimiento. En geometría, se aplican para analizar la curvatura de curvas y superficies.

Función implícita

En una función implícita, la relación entre las variables no se expresa de manera directa mediante una fórmula. En lugar de eso, se presenta mediante una ecuación en la que ambas variables están entrelazadas.

Esta ecuación representa la ecuación de un círculo de radio igual a 1 centrado en el origen. De esta forma se considera como función implícita, ya que al despejar 𝑦 en términos de 𝑥, la expresión se vuelve compleja (raíz cuadrada de una resta):

Una forma de identificar si una función es implícita es expresar de un lado del signo igual (=) los términos con la variable dependiente y del otro lado los términos los restantes.

Es posible tener situaciones en las que no es posible despejar una variable en términos de la otra de manera sencilla.

Te invito a que experimentes en una calculadora gráfica como Desmos o GeoGebra (ambas tienen una versión en línea) cómo afectan el valor de las constantes la representación gráfica de cada función y derivada vistas en esta Lección.

En términos simples, representa la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado.

Título 2

Existen varias notaciones para expresar la derivada de una función:

Cálculo de la derivada

Se calcula tomando el límite cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. La derivada proporciona información sobre la pendiente de la función en un punto específico y se utiliza en cálculo para resolver problemas relacionados con tasas de cambio, velocidad y muchas otras aplicaciones. Nota. Gráfica de función 𝑓(𝑥)=𝑥2+2 con pendiente positiva en el punto 𝑥=1.

Tercera derivada

La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada, y su interpretación es similar a la de la segunda derivada, pero se centra en cómo cambia la concavidad de la función. Mide la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio. A medida que avanzamos a derivadas de orden superior, estamos analizando cómo la función se curva y cambia de manera más detallada.

El análisis de estas propiedades es claro cuando los términos de la función tienen potencias mayores a 3, ya que esto propicia que la gráfica de la función muestre distintos comportamientos de curvas.

Aplicaciones

La derivación de funciones implícitas es una herramienta esencial en matemáticas, física e ingeniería. Se utiliza en casos en los que las relaciones entre variables no son explícitas y es necesario calcular tasas de cambio o pendientes en situaciones más complejas.

Derivación de función implícita

Función implícita

Al igual que derivamos una función explícita, al derivar una función implícita se aplica una derivada a todos los términos en ambos lados de la ecuación debido a la regla de suma o resta.

La regla de la cadena es muy utilizada en derivadas de funciones implícitas. Al final se obtiene una expresión que incluye a la derivada de la variable dependiente (𝑑𝑦/𝑑𝑥) de manera implícita.

Función explícita

En una función explícita, la variable dependiente (usualmente denotada como 𝑦) se expresa de manera clara y directa en términos de la variable independiente (por lo general, denotada como 𝑥), es decir, puedes expresar 𝑦 en función de 𝑥 con una fórmula o expresión algebraica clara, por ejemplo:

De un lado de la ecuación se expresa la variable dependiente sin ningún operador (potencia y coeficiente igual a 1).

Del otro lado de la ecuación se encuentra únicamente la variable independiente

Segunda derivada

La segunda derivada es la derivada de la derivada. Representa la tasa de cambio de la tasa de cambio, es decir, mide cómo cambia la pendiente de la función original. En otras palabras, la segunda derivada da información sobre la concavidad de la curva. Si es positiva, la función es cóncava hacia arriba; si es negativa, es cóncava hacia abajo.

Al graficar la función, su primera y segunda derivada se puede apreciar el comportamiento de las características de la función (roja). Su pendiente (azul) es positiva y disminuye hasta ser 0 (no hay pendiente, la recta tangente es horizontal) posteriormente vuelve a ser positiva. Su concavidad (verde) cambia, si el valor de 𝑥 es menor a 0, es negativa (cóncava hacia abajo), si el valor de 𝑥 es mayor a 0, es positiva (cóncava hacia arriba).

Derivación de función explícita

Función explícita

Al derivar una función explícita se aplica una derivada a todos los términos en ambos lados de la ecuación debido a la regla de suma o resta.

Al aplicar las demás reglas de derivación obtenemos la expresión de la derivada de la variable dependiente (𝑑𝑦/𝑑𝑥).