Maths - Lycée - Trigonométrie

Trigonométrie

Remise à niveau mathématiques

Carole Delenne et Laura Tristan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Objectifs

Plan :

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

À la fin de cette séquence, tu seras capable :

2. Trigonométrie dans le cercle

• de te repérer sur le cercle trigonométrique

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

• de connaître les valeurs de référence du cosinus et sinus

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

• d'utiliser les formules trigonométriques

5. Résolution d'équations trigonométriques

• de résoudre des équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Activité

Iris se prépare pour sa compétition de roller. Elle s’entraîne sur une piste circulaire de rayon 1 hm. Compléte le tableau ci dessous. La longueur de piste parcourue devra être donnée en valeur exacte, sous forme fractionnaire en écrivant "2/3" par exemple.

Voir solution

VALIDER

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Illustration

Cours

Définition

Le cercle trigonométrique, aussi appelé cercle unité, est le cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1.

Propriété :

La circonférence (c'est-à-dire le périmètre) du cercle trigonométrique est de .

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;]-\pi;\pi[

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Cours

Illustration

Définition

La mesure d'un angle en radian est égale à la longueur de l'arc de cercle considéré par l'angle sur le cercle trigonométrique, au signe près :

Si l'on mesure un angle en radians dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire), il sera positif. Si l'on mesure un angle en radians dans le sens horaire, il sera négatif.

Remarque :Les valeurs placées sur le cercle ci-contre sont des valeurs de référence, à connaître et à savoir placer très rapidement. Petit conseil : Essaye de bien les retenir avant de passer à la page suivante !

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

Dans ce jeu de memory, trouve les paires de réel / point image.

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300} \bg_white \huge \frac{5\pi}{6}

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

C’est le jour de la compétition de roller d’Iris. La piste est la même que celle utilisée pour ses entraînements : le rayon est de 1 hm. Pour gagner la course, il faut avoir effectué 3 tours de piste. La ligne de départ représente donc également la ligne d’arrivée

Activité

Quelle distance doit-on parcourir pour gagner la course ?

VALIDER

Voir solution

hm

D’après les positions actuelles d’Iris et Guillaume, lequel est en tête de la course selon toi ?

VALIDER

Voir solution

Iris

Guillaume

Glisser les distances parcourues possibles pour Iris. Même question pour Guillaume. (Il y a 2 valeurs pièges.)

VALIDER

Voir solution

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Cours

Illustration

Propriété :

L'activité précédente nous montre que tous les on "retombe" sur le même point. Il y a donc une infinité de valeurs associées à un même point-image sur le cercle.

Définition

La valeur comprise dans l'intervalle est appelée mesure principale associée au point image considéré sur le cercle.

Remarque : Cette mesure principale correspond donc aux valeurs vues précédemment.

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice 1

Exercice 2

Déplace les vignettes avec les points-images pour les associer aux réels correspondants.

Déplace les vignettes avec les nombres réels pour les associer aux points-images correspondants.

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Partie 2 : lien entre le triangle et le cercle

Activité

Partie 1 : Trigonométrie dans le triangle

Trouver les longueurs manquantes sur les triangles suivants en arrondissant le résultat à 2 chiffres après la virgule

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Illustration

Positionne les cos, sin et tan sur le graphique:

Cours

Définitions : Le cosinus est l'abscisse d'un point-image sur le cercle Le sinus est l'ordonnée d'un point-image sur le cercle La tangente est le rapport du sinus au cosinus d'un angle, on la lit sur la droite tangente au cercle au point (1,0)

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Cours

Illustration

Propriété :

Pour tout réel , on a :

et

Propriété :

Pour tout réel , on a :

et

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Cours

Exercice

Théorème :

Pour tout réel , on a :

Illustration / explication

cos(x)

sin(x)

Dans le triangle OAM rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : On a OA² + AM² = OM²Donc cos²(x) + sin²(x) = 1² D'où cos²(x) + sin²(x) = 1

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Illustration

Cours

Les valeurs remarquables du cosinus et du sinus :

Ces valeurs sont à connaître par coeur ! (Elles doivent être assimilées comme des automatismes)

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

Méthode

Pour trouver les autres valeurs sur le cercle, il suffit de raisonner par symétrie avec les valeurs remarquables à connaître par coeur sur [0 ; 2π[. (C'est une question de signe suivant la position sur l'axe) Conseil : faire un schéma avec un cercle au brouillon si besoin.

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Passe la souris sur cette zone pour révéler le cours lorsque tu auras répondu aux questions.

Exercice

Cours

Formules des angles associés :

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

Cours

Formules d'addition et de soustraction :

Formules de duplication :

D'autres exercices

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

Méthode

Résolution d'équations de la forme cos(x) = y

Il y a trois cas à envisager :

Si , alors l'équation n'admet pas de solution.

Si est une valeur de référence, il suffit de raisonner sur le schéma d'un cercle, à partir des valeurs apprises par coeur.

Si n'est pas une valeur de référence, il est nécessaire d'utiliser la touche de la calculatrice. La calculatrice donnera une seule solution sur , il faudra ensuite en déduire la deuxième, qui sera .

Attention, c'est l'intervalle sur lequel on résout l'équation qui nous indique les solutions que nous allons choisir sur le cercle trigonométrique : ce ne sont pas toujours les mesures principales !

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Exercice

Méthode

Résolution d'équations de la forme sin(x) = y

Il y a trois cas à envisager :

Si , alors l'équation n'admet pas de solution.

Si est une valeur de référence, il suffit de raisonner sur le schéma d'un cercle, à partir des valeurs apprises par coeur.

Si n'est pas une valeur de référence, il est nécessaire d'utiliser la touche de la calculatrice. La calculatrice donnera une seule solution sur , il faudra ensuite en déduire la deuxième, qui sera .

Attention, c'est l'intervalle sur lequel on résout l'équation qui nous indique les solutions que nous allons choisir sur le cercle trigonométrique : ce ne sont pas toujours les mesures principales !

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

2. Trigonométrie dans le cercle

3. Cosinus, sinus et tangente des valeurs de référence

4. Cosinus, sinus et tangente : propriétés

5. Résolution d'équations trigonométriques

6. Bilan

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Ce que je retiens

Le cosinus est l'abscisse d'un point-image sur le cercle trigonométriqueLe sinus est l'ordonnée d'un point-image sur le cercle trigonométrique

La formule fondamentale de la trigonométrie :

Des propriétés du cosinus et du sinus :

et

et

Des valeurs et formules à connaître par coeur :

La plupart des formules et propriétés se retrouvent facilement sur un schéma avec un cercle. Schématiser peut également être intéressant pour résoudre des équations trigonométriques.

À copier coller dans "image" puis "url" puis appuyer sur "entrée" pour avoir la formule LaTeX.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{300}&space;\huge&space;écrirelaformuleici

Remise à niveau mathématiques

Trigonométrie

Fin

Attributions

Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.