CUADRADOS MÁGICOS
Empezar
INTRODUCCIÓN
Los cuadros mágicos son fascinantes disposiciones de números con propiedades matemáticas únicas. Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Han sorprendido a matemáticos y a entusiastas por siglos, sirviendo como un interesante rompecabezas que desafía la mente humana.
ÍNDICE
1. Introducción
5. Aplicaciones
2. Historia
6. Curiosidades
3. Propiedades
7. Conclusión
4. Construcción de cuadrados mágicos
8. Webgrafía
Nos remontamos a la antigua China, alrededor de 2200a.C. El primer registro de un cuadrado mágico fue el llamado "lo-shu y cuenta una leyenda muy interesante.
HISTORIA
Es probable que el cuadrado mágico más conocido sea el de Alberto Durero.
ARTE
Los cuadrados mágicos han sido representados en varias obras de arte. Por ejemplo, Alberto Durero incluyó un cuadrado mágico en su grabado "Melencolia". Además, los cuadrados mágicos se reflejan en la Sagrada Familia de Gaudí.
sagrada familia
Melancolía
PROPIEDADES
suma constante:
-La propiedad más destacada de un cuadrado mágico es que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal principal es constante. . - Esta propiedad es esencial y distingue a los cuadrados mágicos de otras matrices.
Única Constante:
- Cada cuadrado mágico tiene una única constante mágica asociada.- La constante mágica proporciona una conexión fundamental entre los números dentro del cuadrado.
Simetría:
Muchos cuadrados mágicos tienen algún grado de simetría, lo que contribuye a su estética visual.
La simetría puede ser axial o diagonal, y algunos cuadrados mágicos muestran simetría en ambas direcciones.
La simetría agrega una capa adicional de elegancia matemática a estas estructuras.
Propiedad de Desplazamiento:
Se pueden intercambiar entre sí dos filas junto con dos columnas simétricas en bloque todos los números de una fila con todos los números de otra fila, haciendo lo mismo con los números de las filas y columnas que sean simétricas a ellas respecto de los ejes vertical, horizontal y de las diagonales.
De este cuadrado mágico intercambiamos la 1ª y la 4ª fila, junto con la 1ª y la 4ª columna. Si sólo se intercambiaran las filas sería incorrecto.
Propiedad
Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico con otra constante.
Propiedad de Desplazamiento:
Propiedad:
Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir.
Propiedad específica de los cuadrados 4x4.
En los cuadrados de 4x4, además de sus filas, columnas y diagonales, también suman lo mismo los números de casillas situadas en vértices de rectángulos concéntricos paralelos al cuadrado. Son los de las casillas señaladas aquí. Compruébalo en este cuadrado:
CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS
Hay distintos procedimientos para la construcción de los cuadros mágicos dependiendo del orden del cuadrado. Es decir, se pueden construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos.
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
Se inicia colocando el número 1 en el centro de la fila superior del cuadrado y se rellena en diagonal. Si un número excede los límites del cuadrado, continúa en el lado opuesto. Si una posición está ocupada al intentar colocar un número, este se sitúa debajo del último colocado, y continúa la secuencia diagonal.
Método de Bachet
Se dibuja un rombo en el que disponemos los números en orden creciente en diagonales como muestra la figura de arriba, dentro del rombo se dibuja el cuadrado mágico del orden impar que se quiera conseguir. Los números que han quedado fuera del cuadrado se colocan en las posiciones opuestas que quedaron libres. Quedando así, el cuadrado mágico de orden impar.
2.- Cuadrados mágicos de orden n=4k: pares múltiplos de 4
Se construye un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto se mantiene la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado.
3.- Cuadrados mágicos de orden n=4k + 2: pares no múltiplos de 4Método LUX
Se divide el cuadro mágico de orden n=4k+2 en submatrices de orden 2, quedando, con estas divisiones un cuadrdo mágico de orden impar, que se ha de rellenar con el método de Loubere. Después se colocan las letras L, U, X de la siguiente manera: k+1, será el número de filas con cuadros L, la fila siguiente tendrá cuadros U excepto el del centro de la fila que se intercambia con el cuadro L de arriba, las filas restantes serán cuadros X. Con el orden obtenido en el método de Loubere y las letras dispuestas de esta forma se colocan los número de la matriz de orden n= 4k+2.
ciencias ocultas y magia
En las ciencias ocultas y más concretamente en la magia, los cuadrados mágicos tienen un lugar destacado. En algunas técnicas orientales, como el Ba Gua y el Feng Shui, los cuadrados mágicos tienen gran importancia, tanto por razones filosóficas y numerológicas como prácticas, por ejemplo, al momento de determinar orientaciones y espacios específicos.
APLICACIONES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
ENTRETENIMIENTO
Los cuadrados mágicos son una forma de entretenimiento, como se ha demostrado con los sudokus, que se han vuelto muy populares tanto en juegos de móviles como en revistas de pasatiempos.
criptografia
Los cuadrados magicos pueden ser utilizados en areas como la criptografia , para codificar mensajes y asegurar su confidencialidad. La idea básica es que cada número en el cuadrado mágico representa un carácter o un grupo de caracteres. Al reorganizar los números en el cuadrado, se puede cambiar el mensaje codificado. Solo aquellos que conocen la “clave” del cuadrado mágico pueden descifrar correctamente el mensaje. Además, los cuadrados mágicos tienen una propiedad interesante: la suma de los números en cualquier fila, columna o diagonal es siempre la misma. Esto puede proporcionar una forma adicional de verificar la integridad de los datos. Es importante mencionar que aunque los cuadrados mágicos pueden ser una herramienta divertida y educativa para aprender sobre criptografía, no se utilizan comúnmente en la criptografía moderna. Los métodos actuales de criptografía suelen ser mucho más complejos y utilizan principios matemáticos avanzados.
CONCLUSIÓN
Los cuadros mágicos ofrecen una visión de la interacción entre el arte y las matemáticas. Hemos descubierto como estos números han dejado huella a lo largo de la historia y como sus propiedades han sido objeto de estudio y admiración. Estos enigmáticos patrones numéricos siguen desafiando nuestras mentes y demostrando que en las matemáticas la magia consiste en la simplicidad de los números.
CURIOSIDADES
¿Cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? - Para orden uno sólo existe un cuadrado mágico: el formado únicamente por el número 1. - Para orden 2 no existe ningún cuadrado mágico - De orden 3 hay esencialmente sólo 1 cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este), que es: - Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones. -
webgrafía
- https://www.gaussianos.com/cuadrados-magicos/ - https://es.frwiki.wiki/wiki/M%C3%A9thode_LUX_de_Conway_pour_les_carr%C3%A9s_magiques - https://www.youtube.com/watch?v=cOFz6K6aXS4
-
https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/cuadrados-magicos-cuando-arte-y-matematicas-cuadran-sus-objetivos/
-https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico
- https://simontec.es/construccion/construccion-de-cuadrados-magicos/- https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2017/07/08 - https://vicmat.com/algunas-propiedades-del-cuadrado-magico-orden-tres/ - http://sauce.pntic.mec.es/ebac0003/cmfm/propieda.htm
equi`po
LIDIA
SELENA
ZOE
ANA
NEREA
¡Muchas gracias!
Melancolía. Alberto Durero
En la pared debajo de una campana, podemos observar un cuadrado mágico 4x4 formado con los números naturales del 1 al 16, donde, el artista alteró su orden natural para que en las dos cifras de en medio de la cuarta línea horizontal coincidieran los números 15 y 14 que forman el número 1514, que fue el año en el que se creó el cuadro.
Cuadrados mágicos
Lidia Vergara
Created on November 16, 2023
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CUADRADOS MÁGICOS
Empezar
INTRODUCCIÓN
Los cuadros mágicos son fascinantes disposiciones de números con propiedades matemáticas únicas. Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Han sorprendido a matemáticos y a entusiastas por siglos, sirviendo como un interesante rompecabezas que desafía la mente humana.
ÍNDICE
1. Introducción
5. Aplicaciones
2. Historia
6. Curiosidades
3. Propiedades
7. Conclusión
4. Construcción de cuadrados mágicos
8. Webgrafía
Nos remontamos a la antigua China, alrededor de 2200a.C. El primer registro de un cuadrado mágico fue el llamado "lo-shu y cuenta una leyenda muy interesante.
HISTORIA
Es probable que el cuadrado mágico más conocido sea el de Alberto Durero.
ARTE
Los cuadrados mágicos han sido representados en varias obras de arte. Por ejemplo, Alberto Durero incluyó un cuadrado mágico en su grabado "Melencolia". Además, los cuadrados mágicos se reflejan en la Sagrada Familia de Gaudí.
sagrada familia
Melancolía
PROPIEDADES
suma constante:
-La propiedad más destacada de un cuadrado mágico es que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal principal es constante. . - Esta propiedad es esencial y distingue a los cuadrados mágicos de otras matrices.
Única Constante:
- Cada cuadrado mágico tiene una única constante mágica asociada.- La constante mágica proporciona una conexión fundamental entre los números dentro del cuadrado.
Simetría:
Muchos cuadrados mágicos tienen algún grado de simetría, lo que contribuye a su estética visual. La simetría puede ser axial o diagonal, y algunos cuadrados mágicos muestran simetría en ambas direcciones. La simetría agrega una capa adicional de elegancia matemática a estas estructuras.
Propiedad de Desplazamiento:
Se pueden intercambiar entre sí dos filas junto con dos columnas simétricas en bloque todos los números de una fila con todos los números de otra fila, haciendo lo mismo con los números de las filas y columnas que sean simétricas a ellas respecto de los ejes vertical, horizontal y de las diagonales. De este cuadrado mágico intercambiamos la 1ª y la 4ª fila, junto con la 1ª y la 4ª columna. Si sólo se intercambiaran las filas sería incorrecto.
Propiedad
Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico con otra constante.
Propiedad de Desplazamiento:
Propiedad:
Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir.
Propiedad específica de los cuadrados 4x4.
En los cuadrados de 4x4, además de sus filas, columnas y diagonales, también suman lo mismo los números de casillas situadas en vértices de rectángulos concéntricos paralelos al cuadrado. Son los de las casillas señaladas aquí. Compruébalo en este cuadrado:
CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS
Hay distintos procedimientos para la construcción de los cuadros mágicos dependiendo del orden del cuadrado. Es decir, se pueden construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos.
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
Se inicia colocando el número 1 en el centro de la fila superior del cuadrado y se rellena en diagonal. Si un número excede los límites del cuadrado, continúa en el lado opuesto. Si una posición está ocupada al intentar colocar un número, este se sitúa debajo del último colocado, y continúa la secuencia diagonal.
Método de Bachet
Se dibuja un rombo en el que disponemos los números en orden creciente en diagonales como muestra la figura de arriba, dentro del rombo se dibuja el cuadrado mágico del orden impar que se quiera conseguir. Los números que han quedado fuera del cuadrado se colocan en las posiciones opuestas que quedaron libres. Quedando así, el cuadrado mágico de orden impar.
2.- Cuadrados mágicos de orden n=4k: pares múltiplos de 4
Se construye un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto se mantiene la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado.
3.- Cuadrados mágicos de orden n=4k + 2: pares no múltiplos de 4Método LUX
Se divide el cuadro mágico de orden n=4k+2 en submatrices de orden 2, quedando, con estas divisiones un cuadrdo mágico de orden impar, que se ha de rellenar con el método de Loubere. Después se colocan las letras L, U, X de la siguiente manera: k+1, será el número de filas con cuadros L, la fila siguiente tendrá cuadros U excepto el del centro de la fila que se intercambia con el cuadro L de arriba, las filas restantes serán cuadros X. Con el orden obtenido en el método de Loubere y las letras dispuestas de esta forma se colocan los número de la matriz de orden n= 4k+2.
ciencias ocultas y magia
En las ciencias ocultas y más concretamente en la magia, los cuadrados mágicos tienen un lugar destacado. En algunas técnicas orientales, como el Ba Gua y el Feng Shui, los cuadrados mágicos tienen gran importancia, tanto por razones filosóficas y numerológicas como prácticas, por ejemplo, al momento de determinar orientaciones y espacios específicos.
APLICACIONES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
ENTRETENIMIENTO
Los cuadrados mágicos son una forma de entretenimiento, como se ha demostrado con los sudokus, que se han vuelto muy populares tanto en juegos de móviles como en revistas de pasatiempos.
criptografia
Los cuadrados magicos pueden ser utilizados en areas como la criptografia , para codificar mensajes y asegurar su confidencialidad. La idea básica es que cada número en el cuadrado mágico representa un carácter o un grupo de caracteres. Al reorganizar los números en el cuadrado, se puede cambiar el mensaje codificado. Solo aquellos que conocen la “clave” del cuadrado mágico pueden descifrar correctamente el mensaje. Además, los cuadrados mágicos tienen una propiedad interesante: la suma de los números en cualquier fila, columna o diagonal es siempre la misma. Esto puede proporcionar una forma adicional de verificar la integridad de los datos. Es importante mencionar que aunque los cuadrados mágicos pueden ser una herramienta divertida y educativa para aprender sobre criptografía, no se utilizan comúnmente en la criptografía moderna. Los métodos actuales de criptografía suelen ser mucho más complejos y utilizan principios matemáticos avanzados.
CONCLUSIÓN
Los cuadros mágicos ofrecen una visión de la interacción entre el arte y las matemáticas. Hemos descubierto como estos números han dejado huella a lo largo de la historia y como sus propiedades han sido objeto de estudio y admiración. Estos enigmáticos patrones numéricos siguen desafiando nuestras mentes y demostrando que en las matemáticas la magia consiste en la simplicidad de los números.
CURIOSIDADES
¿Cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? - Para orden uno sólo existe un cuadrado mágico: el formado únicamente por el número 1. - Para orden 2 no existe ningún cuadrado mágico - De orden 3 hay esencialmente sólo 1 cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este), que es: - Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones. -
webgrafía
- https://www.gaussianos.com/cuadrados-magicos/ - https://es.frwiki.wiki/wiki/M%C3%A9thode_LUX_de_Conway_pour_les_carr%C3%A9s_magiques - https://www.youtube.com/watch?v=cOFz6K6aXS4 -
https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/cuadrados-magicos-cuando-arte-y-matematicas-cuadran-sus-objetivos/
-https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico
- https://simontec.es/construccion/construccion-de-cuadrados-magicos/- https://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2017/07/08 - https://vicmat.com/algunas-propiedades-del-cuadrado-magico-orden-tres/ - http://sauce.pntic.mec.es/ebac0003/cmfm/propieda.htm
equi`po
LIDIA
SELENA
ZOE
ANA
NEREA
¡Muchas gracias!
Melancolía. Alberto Durero
En la pared debajo de una campana, podemos observar un cuadrado mágico 4x4 formado con los números naturales del 1 al 16, donde, el artista alteró su orden natural para que en las dos cifras de en medio de la cuarta línea horizontal coincidieran los números 15 y 14 que forman el número 1514, que fue el año en el que se creó el cuadro.