Révisions 3ème

Les différents domaines en 3ème

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Nombres et calculs

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Calcul littéral

Le cours : Expression littérale

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Le cours : Simplifier une expression littérale

Exercices : Simplifier une expression littérale

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Expression littérale

Développer un produit

Développer c'est transformer un produit en somme. Pour cela, on utilise la formule suivante :

k(a + b) = k x a + k x b

Développements et réductions

Exercices : Développer et factoriser

Le cours : Développer et factoriser

Révisions brevet

Le cours : Double distributivité et identité remarquable

Exercices : Double distributivité et identité remarquable

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Développer et réduire

Développer un produit

Développer c'est transformer un produit en somme. Pour cela, j'utilise la formule suivante :

Attention aux signes, il faut s'adapter !

Exemples :

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Développer et réduire

Factoriser une somme

Factoriser c'est transformer une somme en produit. Pour cela, j'utilise toujours la même formule mais "dans l'autre sens" :

Le facteur commun n'est pas forcément visible directement. Il faut alors le "chercher" dans les deux produits.

Exemples :

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Double distributivité

Formule de la double distributivité

Soit a, b, c et d quatres nombres relatifs, alors :

Il faut être attentif aux signes s'il y a des nombres négatifs dans l'expression !

Exemple :

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Double distributivité

Identité remarquable

Un cas particulier de l'égalité précédente est :

Dans l'exemple j'ai développé grâce à l'identité remarquable mais on peut aussi factoriser !

Exemple :

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Equations

Le cours : Résoudre une équation

Exercices : Résoudre une équation

Révisions brevet

Exercices : Equations produits et x² = a

Le cours : Equations produits et x² = a

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Résoudre une équation

C'est quoi une équation ?

Une équation est une égalité qui contient au moins un nombre dont on ne connaît pas la valeur (une inconnue) que l'on désigne par une lettre.

Une solution d'une équation est un valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

Résoudre une équation c'est trouver toutes les solutions.

Exemple : C'est une équation. 6 est une solution de l'équation car 2 + 6 = 8.

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Résoudre une équation

Comment résoudre une équation ?

Lorsque je résout une équation, je peux utiliser les propriétés suivantes :

Soient a, b, et k sont trois nombres, si On a alors

Je peux retenir qu'une équation est comme une balance : lorsque j'ajoute/enlève/multiplie ou divise un côté de la balance, je dois faire la même chose de l'autre côté pour qu'elle reste équilibrée.

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Résoudre une équation

En pratique, comment ça marche ?

Deux exemples pour comprendre comment cela fonctionne

Je commence par ajouter 5 des deux côtés du signe =

Je commence par soustraire 7 des deux côtés du signe =

J'enlève 2x des deux côtés du signe =

Je divise par 4 pour qu'il ne me reste plus que x

Exemple vidéo

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Arithmétique

Exercices : Arithmétique

Révisions brevet

Le cours : Arithmétique

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Arithmétique

Diviseurs et multiples

Un nombre b est un diviseur d'un nombre a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Autrement dit, b est un diviseur de a si je peux écrire :

Exemple : Si je divise 135 par 5 j'obtiens un quotient de 27. Je peux écrire : Et je peux dire que : - 135 est un mutiple de 5 - 5 est un diviseur de 135 - 135 est divisible par 5

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Arithmétique

Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre qui possède seulement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Liste des nombres premiers inférieurs à 30 à connaître par coeur :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

1 n'est pas un nombrepremier car il possède un seul diviseur !

Il existe une infinité de nombres premiers

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Arithmétique

Montrer qu'un nombre est premier

Pour démontrer qu'un nombre est premier, il suffit de montrer qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée.

Exemple : Pour démontrer que 179 est un nombre premier je vais commencer par calculer sa racine carrée :

Je vais donc tester si 179 est divisible par les nombres entiers inférieurs à 14, c'est à dire :2, 3, 5, 7, 11 et 13.

179 n'est divisible par aucun des nombres ci-dessus, il est donc premier.

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Arithmétique

Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème fondamental de l'arithmétique : Tout nombre entier positif peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers.

Exemple : Je peux écrire 60 comme : ou encore

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Arithmétique

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Si je veux décomposer 2 088 en produit de facteurs premiers : 1) Je commencer par chercher le plus petit nombre premier qui divise 2 088 : c'est 2. 2) Je divise 2 088 par 2 puis je note le quotient obtenu : 1 044. 3) Je continue de diviser les quotients obtenus par 2 tant que c'est possible. 4) Je passe au nombre premier suivant ( 3 ) et je refais la même chose.

22 2 3 3 29

2 088 1 044 522 261 87 29 1

On a donc : ou encore

A droite de la barre j'obtiens ma décomposition mais il ne faut pas oublier de l'écrire en ligne

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Espace et géométrie, grandeurs et mesures

Triangles semblables et théorème de Thalès

Théorème de Pythagore

Trigonométrie

Transformations

Aires et volumes

Espaces et sections de solides

Grandeurs composées

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Théorème de Pythagore

Le cours : Théorème de Pythagore

Exercices : Théorème de Pythagore

Révisions brevet

Le cours : Réciproque et contraposée

Exercices : Réciproque et contraposée

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Le théorème de Pythagore

Ce qu'il dit

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

Petit rappel : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté.

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Le théorème de Pythagore

A quoi ça sert ?

Le théorème de Pythagore me permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle.

Comment ?

Il y a deux possibilités selon si je cherche à calculer la longueur de l'hypoténuse ou la longueur d'un autre côté.

Calculer la longueur d'un autre côté

Calculer la longueur de l'hypoténuse

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Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²

La réciproque du théorème de Pythagore est :

Si BC² = AB² + AC², alors ABC est un triangle rectangle en A

La réciproque du théorème de Pythagore me sert à montrer qu'un triangle est rectangle.

Exemple

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Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore

La contraposée du théorème de Pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²

La contraposée du théorème de Pythagore est :

Si BC² = AB² + AC², alors ABC n'est pas un triangle rectangle en A

La contraposée du théorème de Pythagore me sert à montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

Exemple

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Le cours : Triangles sembables et théorème de Thalès

Exercices : Triangles sembables et théorème de Thalès

Révisions brevet

Le cours : Démontrer que des droites sont parallèles

Exercices : Démontrer que des droites sont parallèles

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Triangles semblables

Propriété 1 : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux.

Il suffit de montrer que deux paires d'angles sont égales pour montrer que les triangles sont semblables

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Triangles semblables

Propriété 2 : Si deux triangles sont semblables alors leurs longueurs sont proportionnelles.

Ici on a :

Grâce à cette propriété je peux calculer des longueurs si je sais que deux triangles sont semblables

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Théorème de Thalès : cas des triangles emboîtés

Les triangles AMN et ABC sont semblables

Si deux droites (BM) et (CN) sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (BC) et (MN) alors :

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Théorème de Thalès : configuration "papillon"

Si deux droites (BM) et (CN) sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (BC) et (MN) alors :

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Triangles semblables et théorème de Thalès

Théorème de Thalès : exemple de rédaction

Les droites (ED) et (CF) sont parallèles et les droites (DC) et (EF) sont sécantes en B.

(ED) // (FC)Calculer la longueur BE.

D'après le théorème de Thalès on a :

Il est important d'énoncer les conditions nécessaires pour utiliser le théorème au début de la rédaction.

Je remplace les valeurs connues :

J'utilise le produit en croix pour calculer la longueur BE

Enfin je calcule BE :

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Transformations

Le cours : Transformations

Exercices : Transformations

Révisions brevet

Exercices : Homothéties

Le cours : Homothéties

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Les transformations

Symétrie axiale

La symétrie axiale transforme une figure par effet de mirroir par rapport à une droite appelée axe de symétrie.

Ici le polygone A'B'C'D'E' est le symétrique du polygone ABCDE par rapport à la droite (FG).

Cette transformation conserve :

• l'alignement des points
• les longueurs
• les mesures d'angles
• les aires

Si tu bouges la droite (FG) ou les points du polygone ABCDE la figure restera symétrique.

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Les transformations

Symétrie centrale

La symétrie centrale transforme une figure en lui faisant faire un demi tour autour d'un point appelée centre de symétrie.

Ici le polygone A'B'C'D'E' est le symétrique du polygone ABCDE par rapport au point O.

Cette transformation conserve :

• l'alignement des points
• les longueurs
• les mesures d'angles
• les aires

Si tu bouges le point O ou les points du polygone ABCDE la figure restera symétrique.

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Les transformations

Translation

Une translation transforme une figure en la faisant glisser selon une flèche appelée vecteur. Un vecteur défini une direction, un sens et une longueur.

Ici le polygone A'B'C'D'E' est l'image du polygone ABCDE par la translation qui transfome F en G.

Cette transformation conserve :

• l'alignement des points
• les longueurs
• les mesures d'angles
• les aires

Si tu bouges ton vecteur sans le modifier rien ne se passe, ce qui compte c'est sa longueur, son sens et sa direction

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Les transformations

Rotation

Une rotation transforme une figure en la faisant tourner autour d'un point (le centre de rotation) selon un angle et un sens (horaire ou anti horaire).

Ici le polygone A'B'C'D'E' est l'image du polygone ABCDE par la rotation de centre O de 60° dans le sens anti-horaire

Cette transformation conserve :

• l'alignement des points
• les longueurs
• les mesures d'angles
• les aires

Si tu bouges le centre de rotation l'image changera mais pas l'angle

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Organisation, gestion de données, fonctions

Probabilités

Statistiques

Fonctions

Pourcentages

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Statistiques

Révisions brevet

Le cours : Statistiques

Exercices : Statistiques

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Statistiques

Effectifs et fréquences

Voici la liste des notes des 20 élèves d'une classe à une évaluation :

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Fonctions

Le cours : Notion de fonctions et vocabulaire

Exercices : Notion de fonctions et vocabulaire

Révisions brevet

Exercices : Fonctions affines et linéaires

Le cours : Fonctions affines et linéaires

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Notion de fonction

Une fonction f est un procédé qui va transformer un nombre x en un autre nombre unique f(x).

L'unique nombre f(x) que l'on obtient est appelé l'image de x. Dans ce cas, on dit également que x est un antécédent du nombre f(x).

Tu peux voir une fonction comme une "machine" qui transforme un nombre (l'antécédent) en un autre nombre (l'image).

Si dans une fonction j'insère le nombre 4 et j'obtiens 16, on peut écrire f(4) = 16 On dit alors que 16 est l'image de 4 par la fonction f et que 4 est un antécédent de 16.

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Les différentes représentations

1.L'expression algébrique

Par exemple, si je prends la fonction carré (qui mets un nombre au carré), je peux écrire que cette fonction est

Pour remplir le tableau j'ai remplacé x dans l'expression algébrique.

2.Le tableau de valeurs

En prenant la même fonction, je peux réaliser un tableau de valeurs

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Les différentes représentations

3.La représentation graphique

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DEF est un triangle tel que DE = 3 cm, FD = 4 cm et FE = 5 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ?

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Le côté le plus grand est FE.

D'une part :

D'autre part :

FE² = 5² = 25

DE² + FD² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

On a FE² = FD² + DE²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle.

Translation

Symétries

Reconnaître la transformation

Rotation

Développer une expression avec la double distributivité

Développer une expression avec (a + b)(a - b)

Factoriser une expression avec a² - b²

Simplifier une expression complexe

Résolution de problèmes

Décomposer en produit de facteurs premiers

Vocabulaire : division, multiples et diviseurs

Reconnaître des nombres premiers

Factoriser une somme

Développer un produit

Vocabulaire et notations

Lire graphiquement des images et des antécédents

Compléter un tableau de valeurs

Calculer des images et des antécédents

Dans le triangle rectangle JMN, je cherche à calculer la longueur de NM

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Ce triangle est rectangle, je peux donc utiliser le théorème de Pythagore :

Les longeurs sont données en cm.

MN mesure environ 7,62 cm.

Arrondir une racine carrée

Calculer des longueurs

Ecrire l'égalité de Pythagore

Résoudre une équation à solution entière

Mettre en équation un problème

Résoudre une équation

Dans le triangle rectangle WRC, je cherche à calculer la longueur de CW

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Ce triangle est rectangle, je peux donc utiliser le théorème de Pythagore :

Les longeurs sont données en cm.

CW mesure environ 4,12 cm.

STU est un triangle tel que ST = 9,5 cm, SU = 2,3 cm et TU = 9,2 cm. Le triangle STU est-il rectangle ?

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Le côté le plus grand est ST.

D'une part :

D'autre part :

ST² = 9,5² = 90,25

TU² + SU² = 9,2² + 2,3² = 84,64 + 5,29 = 89,93

On a ST² = TU² + SU²

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle STU n'est pas rectangle.

Ecrire l'égalité de Thalès

Calculer une longueur avec Thalès

Reconnaître des triangles semblables