Suites arithmétiques - 1ère TC

Les suites arithmétiques

On va s'intéresser à des suites dans lesquelles les nombres augmentent ou diminuent de manière constante.

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Index

Ex 6 et 7

SAVOIR FAIRE

Ex 29, 30, 31, 32

LEçON

1. Calculer un terme d'une suite arithmétique définie par une formule explicite ou par récurrence: exercices 6, 7, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 38 et 41

Ex 34, 35, 36, 38

1. Qu'est-ce qu'une suite?

Ex 41 et 43

2. Deux façons de définir une suite arithmétique

2. Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d’une suite arithmétique: exercices 43, 44, 45 et 46

Ex 44, 45, 46

5. Suites arithmétiques: représentation graphique et sens de variation

Ex 47

3. Modéliser une situation par une suite arithmétique: exercices 47 et 51

Ex 51

1. Qu'est-ce qu'une suite?

De quoi parle-t-on?

une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de la suite est appelé un terme. Il y a donc un premier terme, un deuxième, un troisième...

• Remarque: au lieu d'écrire u(n), on écrit souvent un (on lit "u indice n")
• Vocabulaire: Dans un repère, la représentation graphique d'une suite u(n) est le nuage de points de coordonnées (n; u(n)) pour tout entier naturel n.

On peut noter u(1), u(2), u(3),... les termes successifs d'une suite. On note alors u(n) cette suite. Il est parfois pratique de nommer u(o) le premier terme de la suite.

Exemple

0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; ... est la suite des nombres pairs.

On note u(n) cette suite. Alors u(o) = 0, u(1) = 2, u(2) = 4, u(3) = 6, u(4) = 8, u(5) = 10, ...

2 . Deux façons de définir une suite arithmétique

-par une relation de récurrence - par une formule explicite

Par une relation de récurrence

Exemple

Lorsque pour une suite, on passe d'un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre réel (appelé la raison), on dit que la suite est arithmétique.

un est la suite arithmétique de raison 2 telle que u0 = 1. Ainsi: u1 = u0 + 2 = 1 + 2 = 3 u2 = u1 + 2 = 3 + 2 = 5 u3 = u2 + 2 = 5 + 2 = 7 On obtient ici la suite des nombres impairs.

Dire qu'une suite (un) est arithmétique, signifie qu'il existe un nombre réel r (appelé la raison), tel que pour tout entier naturel n,

un+1 = un + r

Par une formule explicite

Exemple

(un) est une suite arithmétique de raison r. Ainsi: u1 = u0 + r, u2 = u1 + r = u0 + r + r = u0 + 2r u2 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r ...On peut donc en déduire la propriété suivante:

un est la suite arithmétique de raison -0,5 telle que u0 = 3. Pour tout entier naturel n, un = u0 + nr = 3 + n x (-0,5) = 3 - 0,5n Ainsi, par exemple: u100 = 3 - 0,5 x 100 = 3 - 50 = -47

Si (un) est une suite arithématique de raison r, alors pour tout entier naturel n,

un = u0 + nr

Petit bilan à savoir ....par coeur!

Pour calculer un terme d'une suite arithmétique:

Si je connais la raison r et un terme de la suite, je peux calculer le terme précédent ou le suivant en utilisant la relation:

Si je connais la raison r et u0, je peux calculer n'importe quel terme en utilisant la relation:

(un) est la suite arithmétique de raison 4 telle que u1 = -3

(un) est la suite arithémtique de raison 4 telle que u0 = -7

u1 = u0 + r donc u0 = u1 - r = -3 - 4 = -7

u2 = u1 + r = -3 + 4 = 1

un+1 = un + r

un = u0 + nr

u20 = u0 + 20 x r donc u20 = -7 + 20 x 4 = -7 + 80 = 73

2. Soit w une suite définie pour tout n ∈ ℕ, par wn+1 = wn + 5 et w0 = 9.a) Calculer w1 et w2.

Entraine-toi !

Utilise correctement les deux formules apprises. Travaille dans ton cahier de recherche.

2. b) Donner la nature de la suite w et préciser la raison.

2. c) En déduire pour tout n ∈ ℕ, l’expression de wn en fonction de n.2. d) Calculer w10.

1. Soit u la suite arithmétique de raison −3 et de terme initial u0 = 10. 1. a) Exprimer pour tout n ∈ ℕ, un+1 en fonction de un.

3. Soit v une suite arithmétique de raison 12. Calculer vo sachant que v100 = 0.

1. b) Calculer u1 et u2.

2. a) w1 = w0 + 5 = 9 + 5 = 14 w2 = w1 + 5 = 14 + 5 = 19

Corrige-toi !

As-tu utilisé correctement les deux formules de la leçon?

2. b) wn est une suite arithématique de raison 5.

2. c) wn = w0 + 5n.2. d) w10 = w0 + 5 x 10 = 9 + 50 = 59

1. a) un+1 = un - 3

3. v est une suite arithmétique de raison 12 donc vn = v0 + 12n v100 = 0 équivaut à v100 = v0 + 1200 or v100 = 0 donc v0 + 1200 = 0 d'où v0 = - 1200

1. b) u1 = u0 - 3 = 10 - 3 = 7 u2 = u1 - 3 = 7 - 3 = 4

3. représentation graphique et sens de variation d'une suite arithmétique

C'est la partie facile!

Propriétés (admises)

(un) est une suite arithmétique de raison r. Dans un repère orthogonal, les points de coordonnées (n ; un) sont alignés. La suite arithmétique (un) est:

- croissante lorsque r > 0

- constante lorsque r = 0

- décroissante lorsque r < 0

Remarques

Les points représentant une suite arithmétique de raison r appartiennent à la droite représentative de la fonction affine x rx + u0.

a) u0 = 6 ; u1 = 4 ; u2 = 2 ; u3 = 0 ; u4 = -2 b) r = -2

a) (vn) est une suite arithmétique de raison r = 1 donc vn+1 = vn + 1 b) v1 = 2 ; v2 = 3 ; v3 = 4

3) Pour un , r < 0 donc (un) est décroissante. Pour vn , r > 0 donc (vn) est croissante. 4)

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Le métier de cadre administratif et financier

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Remarques

Toute suite arithmétique de raison r modélise une situation dont les données successives ont des acrroissements constants égaux à r, on dit que ce sont des situtaions discrètes à croissance (ou décroissance) linéaire. Les points représentant une suite arithmétique de raison r appartiennent à la droite représentative de la fonction affine x rx + u0.