suite arithmétique

suite arithmétique

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sommaire

Formule explicite

Définition

Somme de termes consécutifs

Variations

01

définition

dire qu'une suite est arithmétique signifie qu'il existe un nombre réel r ( appellé raison ) tel que, quel que soit l'entier naturel n: un+1= un+r

formule de récurrence

02

formule explicite

si un est la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors on a: quel que soit n∈ ℕ: un= u0+nr

03

variations

soit (un) une suite arithmétique de raison r: si r >0 alors (un) est strictement croissante si r < 0 alors (un) est strictement décroissante si r = 0 alors (un) est constante

04

somme de termes consécutifs

pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs se calcule de la façon suivante: S = nombre de termes *(1er terme+ dernier terme) 2

explication de la formule:

on s'intéresse à la suite des entiers naturels. on veut calculer la somme: s=1+2+3+4+5+....+n s= 1+2+3+.....+(n-2)+(n-1)+n + s= n+(n-1)+(n-2)+.....+3+2+1 2s=(n+1)+(n+1) +(n+1)......(n+1)+(n+1)+(n+1) 2s=(n+1)*n s=(n+1)*n 2

exemple:

(un) la suite arithmétique de 1er terme u0=10 et de raison r =1,5 s=u5+u6+u7+u8+u9+u10? un=10+1,5n u5=10+1,5*5 donc : s=6*u5+u10 =17,5 =6*17,5+25 2 u10=10+1,5n*10 =127,5 =25

explication de la forme explicite:

pour un suite de arithmétique de raison r: u1= u0+r u2= u1+r = u0+r+r = u0+2r u3= u2+r = u0+2r+r = u0+3r u4= u3+r = u0+3r+r = u0+4r

...

exemples:

• la suite arithmétique de 1er terme u0 =5 et de raison r= -4 est définie par:

• la suite des entiers naturels est la suite arithmétique de 1er terme u0= 1 et de raison 1

• la suite des entiers pairs est la suite arithmétique de 1er terme u0= 0 et de raison r= 2

• la suite des entiers impairs est la suite arithmétique de 1er terme u0= 1 et de raison r= 2

u0= 5 un+1= un-4

remarques:

• si le 1er terme est u1, la formule du terme général devient: un=u1+(n-1)r

• lien avec les fonctions affines:

un= u0+n*run= f(n) avec f(x)= u0+rx affine les points du nuage représentant (un) sont alignés.

exemples:

La suite des entiers pairs s'écrit: un= 0+n*2= 2n La suite des entiers impairs s'écrit: un= 1+n*2= 2n+1 on considére la suite en justifiant,calculer u2023 comme un+1=un+3,5 alors (un) est aritmétique de raison r=3,5. j'utilise un=u0+nr ici = -5+3,5n donc u2023= -5+3,5*2023= 7075,5

u0= -5 un+1= un+3,5