4ºESO Unidad 2_Inecuaciones

Unidad 2 - INECUACIONES -

4º ESO - Curso 2023-2024

Empezar

1. Intervalos

2. Inecuaciones

3. Inecuaciones con una incógnita

Índice

4. Inecuaciones de segundo grado

5. Sistemas de inecuaciones

6. Inecuaciones con dos incógnitas

7. Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

01

Intervalos

Intervalos

Un intervalo de números reales es un subconjunto del conjunto de los números reales que, intuitivamente está formado por una sola pieza.

Tipos

Semirrectas

02

Inecuaciones

Inecuaciones

Una desigualdad es una expresión numérica o algebraica unida por uno de los cuatro signos de desigualdad:

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. El grado de una inecuación es el mayor de los grados al que están elevadas sus incógnitas.

Resolver una inecuación consiste en encontrar los valores que la verifican. Éstos se denominan soluciones de la misma.

03

Inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones con una incógnita

Una inecuación con una incógnita puede escribirse de la forma:

Pasos

04

Inecuaciones de segundo grado

Inecuaciones de segundo grado

Una inecuación de segundo grado con una incógnita puede escribirse de la forma: (empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad)

Para resolverla seguimos los siguientes pasos:- Calculamos las soluciones de la ecuación asociada.- Las representamos sobre la recta real (quedando dividida en tres, dos o un interavlo en función de las soluciones que tenga).En cada uno de ellos (intervalos), el signo del polinomio se mantiene constante, por lo que bastará con determinar el signo que tiene dicho polinomio para un valor cualquiera de cada uno de los intervalos. Para saber si las soluciones de la ecuación verifican la inecuación, bastará con sustituirla en la misma y comprobarlo.

05

Sistemas de inecuaciones

Sistemas de inecuaciones

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es aquel en el que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un exponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tiene por expresión general: Para resolverlos, independientemente del número de inecuacioens que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se determina la solución como la intersección de todas ellas.

Ejemplo

06

Inecuaciones con dos incógnitas

Inecuaciones con dos incógnitas

Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es toda aquella inecuación que tiene la siguiente forma para cualesquiera los signos de desigualdad.

Para resolverla seguimos los siguientes pasos: 1º) Representamos gráficamente la función lineal asociada ax +by = c2º) La recta divide al plano en dos semiplanos. Utilizando un punto, obtenemos cual es el semiplano solución.3º) La inclusión o no en dicha solución de la frontera, depende de si la desigualdad es estricta o no, respectivamente.

Ejemplo

07

Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Los sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas son un conjunto de inecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. El conjunto solución está formado por las soluciones que verifican a la vez todas las inecuaciones. Al conjunto se le llama región factible.

Ejemplo

Intervalo abierto: Es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.

Intervalo cerrado: Es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.

Intervalo semiabierto: Es aquel en el que lo sólo uno de los extremos parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.

Intervalo semiabierto por la izquierda: El extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior sí.

Intervalo semiabierto por la derecha: El extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior sí.

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Semirrectas reales:

Semirrecta de los números positivos: Es decir, todos los números comprendidos desde el cero hasta el infinito. Semirrecta de los números negativos: Es decir, todos los números comprendidos desde el infinito negativo hasta el cero. Con lo que toda la recta de los números reales comprende desde el menos infinito hasta el infinito positivo. A una semirrecta se le puede considerar como un intervalo infinito.

Inecuaciones equivalentes:

Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. A veces para resolver una inecuación, resulta conveniente encontrar otra equivalente más sencilla. Para ello, se pueden realizar las siguientes transformaciones: Sumar o restar la misma expresión a los dos miembros de la inecuación. Multiplicar o dividir ambos miembros por un número positivo. Multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo y cambiar la orientación del signo de la desigualdad.