Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geomé

Matematicas II

Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas Ejemplo resuelto

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El proceso para calcular el área de una figura compuesta resulta ser una tarea de análisis y estrategia, debido al trazo y las figuras geometricas que se relacionan mediante puntos y líneas que se intersecan (círculos y otras figuras geométricas combinadas).

En la figura se plantea el cálculo del área sombreada.Actividad: Análisis los elementos, características y propiedades de las figuras que se intersecan y que delimitan la región sombreada.

Se proporcionan los siguientes datos:

1. Círculo con centro en O y radio OQ = 2 cm.2. Círculo con centro en P y radio QP = 2 cm. 3. El punto Q es punto de tangencia de los dos círculos. 4. Rectángulo KLMN en el que se inscriben los dos círculos. 5. KM, segmento de recta diagonal del rectángulo KLMN.

Al analizar las características y propiedades de las figuras geométricas, se deduce lo siguiente:

ver

Sabemos que: A= π r2Sustituyendo el valor del radio: A= π (2 cm)2 El valor del área de cada círculo: A= 4π cm2 Total del área de los círculos: AT = 2 ( 4π ) cm2

Al analizar las características y propiedades de las figuras geométricas, se deduce lo siguiente:

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La base del rectángulo KLMN, que es el segmento MN, tiene una magnitud de dos diámetros o cuatro radios de los círculos inscritos. Entonces: MN = (4)(2 cm) MN = 8 cm

Al analizar las características y propiedades de las figuras geométricas, se deduce lo siguiente:

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La altura del rectángulo KLMN, que es el segmento LM, tiene una magnitud de un diámetro o dos radios de los círculos inscritos. Entonces: LN = (2)(2 cm) LN = 4 cm

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A = b × h b = MN ; b = 8 cm h = LM ; h = 4 cm A = (8 cm)(4 cm) A = 32 cm2

La diferencia entre el área del rectángulo y la suma de las áreas de las circunferencias inscritas proporciona el área de las regiones no comunes entre las figuras, que corresponde a la superficie sombreada de la figura:

Entonces: Área total del rectángulo: A = 32 cm2 Área total de los círculos: A = 8π cm2 Diferencia de las áreas: (32 ‒ 8π) cm2

Considerando que la diagonal,como eje de simetría, divide al rectángulo en dos partes iguales, entonces el total del área sombreada se divide en dos partes. El área solicitada es:

Por lo tanto, el área solicitada es la diferencia de las áreas entre dos:

Área sombreada = 32 ‒ 8(3.14) 2 = 32 ‒ 25.1 2 = 6.88 2 Área sombreada =3.44 cm2

¡Muchas gracias!