Extrapolacion de Richardson

Extrapolacion de richardson

index

Introducción

Conceptos básicos

Proceso de extrapolación

Ventajas

Desventajas

En resumen

Lewis Fry Richardson

La extrapolación de Richardson es una técnica utilizada en métodos numéricos para mejorar la precisión de las aproximaciones numéricas. Fue desarrollada por el matemático británico Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX.

Conceptos básicos

1. Aproximaciones Iniciales Comienza con una aproximación inicial a la cantidad deseada. Esta aproximación puede provenir de cualquier método numérico o fórmula de cálculo. 2. Refinamiento de Aproximaciones Realiza el cálculo de una segunda aproximación utilizando una malla o paso más fino en el método original. Esta segunda aproximación tiende a ser más precisa pero no necesariamente exacta.

Conceptos básicos

3. Fórmula de Extrapolación Aplica una fórmula de extrapolación para combinar las dos aproximaciones y obtener una estimación mejorada. La fórmula general de extrapolación de Richardson tiene la forma:

Conceptos básicos

5. ConvergenciaLa extrapolación de Richardson acelera la convergencia del método numérico original. Esto significa que, con menos iteraciones, se puede obtener una estimación más precisa que la proporcionada por el método inicial.6. Elección de ParámetrosLa elección adecuada de parámetros como el factor de reducción r y el número de iteraciones k es crucial. La determinación de estos parámetros depende del problema específico y del método numérico utilizado.

Conceptos básicos

7. Generalidad del enfoqueAunque se explica frecuentemente en el contexto de la diferenciación numérica, la extrapolación de Richardson es una técnica general que se puede aplicar a diversas situaciones, como la integración numérica y la resolución de ecuaciones no lineales.

Aplicacion y proceso

Derivación numérica

Se utilizará como método base la interpolación de Newton. Como se mencionó anteriormente se calcularán dos aproximaciones de la derivada utilizando una mismo formula de derivación con dos tamaños de paso h1 y h2, con h2<h1 (buscamos que la segunda aproximación sea más precisa) *Es importante utilizar la misma fórmula de derivación con ambos tamaños de paso y también el valor de k tiene que ser mismo.

Estimaremos la derivada de f(x)=cos(x) + e^(-x) en x=0.5 con tamano de pasos h1= 0.5 y h2= 0.25 Se usará la expresión de derivación con un polinomio de segundo grado.

Paso 1: Aproximación Inicial

Con h=0.5 se obtiene la siguiete tabla de valores con las diferencias correspondientes

Comencemos con una aproximación inicial de la derivada donde h es un pequeño paso.

Paso 1: Aproximación Inicial

Sustituyendo als diferencias, h=0.5, k=1 y x=0.5 en la expresion

Paso 2. Refinamiento de la aproximacion

Con h=0.25 obtenemos entonces la siguiente tabla de valores;

Paso 3: Fórmula de Extrapolación

Ahora, aplicamos la fórmula de extrapolación de Richardson:

El resultado mediante el proceso analitico es;

Por lo tanto se obtuvo un valor absoluto de;; e=0.001

Sustituimos con nuestras aproximaciones

Ventajas

+85k

+45k

+190

Versatilidad de Aplicación

Aceleración de Convergencia

Mejora de Precisión

La principal ventaja de la extrapolación de Richardson es su capacidad para mejorar la precisión de las aproximaciones numéricas. Permite obtener estimaciones más precisas utilizando el mismo método numérico, pero con diferentes niveles de refinamiento..

Ayuda a acelerar la convergencia de métodos numéricos que pueden converger lentamente. Al combinar aproximaciones calculadas con mallas más finas, se logra una convergencia más rápida hacia la solución deseada

Puede aplicarse a una amplia variedad de problemas numéricos, incluyendo cálculo de derivadas, integración numérica, resolución de ecuaciones no lineales y más. Su versatilidad la hace útil en diversos campos científicos y de ingeniería.

Desventajas

-85k

-45k

-190

Requiere Cálculos Adicionales

Sensibilidad a Elección de Parámetros:

No Siempre Mejora la Precisión

La aplicación de la extrapolación de Richardson implica cálculos adicionales para obtener las aproximaciones mejoradas. Esto puede aumentar la carga computacional, especialmente en problemas donde la evaluación de la función es costosa.

La eficacia de la extrapolación de Richardson puede depender de la elección adecuada de parámetros, como el factor de reducción y el número de iteraciones. La selección incorrecta de estos parámetros puede afectar negativamente los resultados.

Aunque la extrapolación de Richardson es poderosa, no siempre mejora la precisión de manera significativa. En algunos casos, dependiendo del problema y del método numérico original, los beneficios pueden ser limitados.

En resumen

La extrapolación de Richardson es una herramienta valiosa, pero su aplicación efectiva requiere consideración cuidadosa de los parámetros y la naturaleza del problema. En situaciones adecuadas, sus ventajas en términos de mejora de precisión y aceleración de convergencia pueden superar sus desventajas.

Integrantes

Karla Berenice Perez Mendoza

Jovanny Adrian Bernabe Arenas

Rodolfo Hernandez Martagon

Miguel Angel Sanchez Zamora