Cilindro

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Il Cilindro

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Giulia Di Franco Aurora Puzzo Balluzzo Stefania Barcellona

Il cilindro è il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

infatti il cilindro è un solido di rotazione proprio come il cono e la sfera ,questi,sono ottenuti dalla rotazione di una figura piana attorno a un suo elemento o ad una retta in generale.

tipi di cilindro

Quello preso in analisi nella slide precedente è il cilindro circolare retto,chimato comunamente solo cilindro, ma ne esistono molti altri tipi, tra cui i più importanti sono:

- CILINDRO OBLIQUO le quali linee generatrici sono inclinate rispetto alle basi. In questo caso la sezione trasverale non è un rettangolo. -CILINDRO ELLITTICO con basi ellittiche anzichè circolari.

- CILINDRO PARABOLICO il quale non è limitato da basi e si estende all'infinito in una direzione,con una sezione trasversale che forma una parabola. -CILINDRO IPERBOLICO ,simile al parabolico ma con una sezione trasversale che forma un'iperbole

ELEMENTI DEL CILINDRO

La retta che contiene il lato del rettangolo intorno al quale viene fatto ruotare si dice asse del cilindro, ciascuno dei lati che descrivono un cerchio si dice raggio del cilindro, il lato del rettangolo che per effetto della rotazione descrive la superficie laterale è detto generatrice. La distanza tra le due basi del cilindro è l'altezza del solido, e la sua misura è uguale alla lunghezza della generatrice e naturalmente alla lunghezza del lato attorno al quale il rettangolo viene ruotato.

Si dice superficie cilindrica, o laterale, la superficie di rotazione che ha per generatrice una retta parallela all'asse di rotazione.Si dice invece superficie di base, la superficie di rotazione che ha per generatrice il raggio di base . La somma di quest'ultime da invece come risultato la superficie totale.

Superficie di

Superficie di

Area del cilindro

La superficie laterale del cilindro ha come sviluppo un rettangolo i cui lati misurano 2πr e h, quindi assumeremo come area della superficie laterale di un cilindro l'area di questo rettangolo, che misura 2πr • h. Per ottenere l'area della superficie totale bisogna aggiungere all'area della superficie laterale le aree delle due basi, ciascuna delle quali misura πr^2. Vale quindi il seguente teorema Sl= 2πr • h Sb= r^2 • π St = 2πr • h + 2πr^2 Possiamo ricavare diverse formule ad esempio: r= (Sl/h) / 2π ; r= √Sb/π Sb = (St-Sl)/2 Ricordando che la circonfernza di base si trova con le formule : C= 2πr oppure C= Sl/ h ; possiamo ricavare le seguenti formule inverse : h= Sl/C ; r= C/2π

Volume del cilindro

Per quanto riguarda invece il calcolo del volume di un cilindro, basta ricordare che un cilindro è equivalente a un prisma avente base equivalente a quella del cilindro e stessa altezza. Dunque un cilindro avente raggio di base di misura r e altezza di misura h è equivalente a un prisma la cui base ha area di misura πr^2 e la cui altezza misura h. Vale quindi:Vcilindro= πr^2 • h Formule inverse : Sb = V /h r= √V/ hπ h= V/Sb

Proprietà

-Ogni piano perpendicolare all'asse di rotazione che interseca il cilindro individua cerchi congruenti alle basi; il raggio di uno qualsiasi di tali cerchi è il raggio del cilindro -l'asse di rotazione è asse di simmetria, li punto medio del segmento di tale asse compreso tra le basi è centro di simmetria. -ogni piano passante per l'asse di rotazione è piano di simmetria, l'intersezione di uno di questi piani con il cilindro è un rettangolo. -il piano perpendicolare all'asse di rotazione e passante per il punto medio di uno dei lati è piano di simmetria

Se ora consideriamo un piano parallelo all'asse di rotazione, indicata con d la distanza dell'asse dal piano e con r il raggio del cilindro, si dimostra che: • se d >r, il piano non ha alcun punto in comune con essa e si dirà che è esterno alla superficie •se d = r, il piano incontra la superficie cilindrica lungo una generatrice e si dirà che è tangente alla superficie •se d < r, il piano incontra la superficie lungo due generatrici e si dice che è secante la superficie.

Inoltre sappiamo che :Un prisma retto si dice inscritto in un cilindro se le sue basi sono poligoni inscritti nelle basi del cilindro; si dice circoscritto se le sue basi sono poligoni circoscritti alle basi del cilindro.

Cilindro nell'arte

Cézanne è uno dei massimi esponenti del postimpressionismo; il fine della sua ricerca era quello di analizzare in fondo la realtà, penetrando le cose, e dandone una forma attraverso le figure geometriche. Non a caso il pittore diceva che ‘bisogna trattare la natura secondo il cilindro, la sfera e il cono, tutti messi in prospettiva’. Il suo tormento sarà quello di rappresentare la realtà sulla bidimensionalità della tela. La prospettiva non basta da sola a rappresentare la realtà, e Cézanne lavorerà fino alla morte cercando di analizzare la struttura e la composizione di ciò che si rappresenta; non a caso le estreme conseguenze del suo pensiero diventeranno poi la base per la successiva pittura di Picasso e Braque. Uno dei dipinti che meglio rappresenta la frase ‘bisogna trattare la natura secondo il cilindro, la sfera e il cono, tutti messi in prospettiva’ è ‘I giocatori di carte’

Questa tela è una scena di genere: due uomini con giacca e cappello sono seduti simmetricamente a un tavolino, con le carte in mano. I due uomini sembrano blocchi monolitici; quello di sinistra, in particolare, ha il corpo e il cappello a forma di cilindro.

Un altro quadro di Cézanne è 'Il ponte di Maincy', la razionalità di questo dipinto consiste nella rappresentazione del soggetto, il ponte, e dell’ambiente circostante attraverso una sintesi geometrica delle forme, infatti i tronchi dei coni sono realizzati tramite forme cilindriche.

La sfera e il cilindro di Archimede

Nei due libri del trattato Sulla sfera e il cilindro, Archimede effettua una serie di importanti dimostrazioni relative alle proprietà di queste figure e del cono. Il modello mostra la relazione tra i volumi di tre solidi: la sfera, il cilindro circoscritto e il cono con la stessa base e la stessa altezza del cilindro. Quando il cilindro è completamente pieno di sabbia, capovolgendo il dispositivo si osserva il riempimento totale della sfera e del cono. Poiché il volume del cono è la terza parte di quello del cilindro, ne segue che il volume della sfera è i 2/3 di quello del cilindro circoscritto e quindi doppio del volume del cono, come dimostrato da Archimede.