2.1. LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK ETA FUNTZIOAKONOMIOAK

LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK, FUNTZIO LINEALAK, EKUAZIO SISTEMAK

HASI!

Zer dira ekuazioak?

Ezezagun bat edo gehiago dituen berdintza aljebraikoa da, adibidez 7x + y2 = 23. Ekuazioa ebaztea berdintza betetzen duten ezezagunen balioak aurkitzea da, ezezaguna aurkitzea alegia. Kasu honetan, zein dira x eta y-ren balioak?

Zer esan nahi du lehen mailakoa izatea ?

Monomioen maila altuena 1 dela esan nahi du. Hauek ekuazio mota sinpleenak dira.

Lehen mailako ekuazioak ebazteko urratsak

Laburtu ekuazioaren bi aldeak, antzeko gaien artean eragiketak eginez. Parentesiak ebazten hasiko gara, aurretik duten ikurra kontutan hartuz.

Kokatu ezezagunak dituzten gai guztiak ekuazioaren alde bakar batean. Horretarako, identifikatu eragiketa nagusia, eta desegin eragiketa hori alderantzizko eragiketa baliatuz.

Errepikatu prozesua ezezaguna askatu arte.

Sinplifikatu soluzioa, ahal bada.

Koefiziente arrazionaleko ekuazioak

Koefiziente arrazionaleko lehenengo mailako ekuazioak ebazteko, honako urrats hauek egin behar dira:

Lehenengo mailako ekuazioen koefizienteak ez dira beti osoak izaten, zatikiak izan daitezke. Adibidez:

1. Kalkulatu ekuazioko izendatzaile guztien mkt, eta izendatzaileak mkt lortzeko behar izan dugun zenbakiarekin biderkatu.

2. Ekuazioaren alde bakoitzean izendatzaile bereko zatikiak daudenez, hauek sinplifika daitezke.

3. Ebatzi ekuazioa aurreko jardueran azaldutako prozedura baliatuz.

21J. Ebatzi honako ekuazio hauek:

23J. Ebatzi honako ekuazio hauek:

Zer dira funtzioak?

Lehendabizi, ERLAZIO kontzeptua definituko dugu. Bi multzoren arteko loturari ERLAZIO deitzen diogu. Adibidez, honako erlazioak aurkitu ditzakegu eguneroko bizitzan.

Koadrilako kide bat

Telefono zenbaki bat, edo gehigo

Prezio bat

Dendako produktu bat

Zer dira funtzioak?

Erlazio batek lehenengo multzoko elementu bakoitzari bigarren multzoko elementu bakarra egokitzen badio, erlazioari funtzio esaten zaio.

Matematikan, zenbakizko multzoak lotzen dira. Zenbaki hauei magnitude deitzen zaie. Magnitudeak aldagai izeneko letraz adierazten dira. Bi aldagai erlazionatzen direnean, funtzio bat dugu. x aldagaiari y aldagaia egokitzen zaio. x aldagai askea da, eta har ditzakeen balioen multzoari eremu esaten zaio. y, mendeko aldagaia, eta har ditzakeen balioen multzoari ibilbea esaten zaio.

ADIBIDEA

Funtzioen adierazpena

Funtzioek adierazpen molde ugari onartzen dituzte: Hitzezko hizkuntza: Asteburu honetarako, txango bat antolatu dugu. 55 eserlekuko autobus batek 800 €-ko kostua du. Beraz, garraioaren prezioa txangora joango den bidaiari kopuruaren araberakoa izango da. Taulazko hizkuntza: Hizkuntza grafikoa: gehienetan, diagrama kartesiarrak erabiltzen dira. Hizkuntza aljebraikoa:

DIAGRAMA KARTESIARRAK

Adierazpen grafikoa

Lehen mailako funtzioen adierazpen grafikoa lerro zuzen bat da. Marrazteko, adierazpen aljebraikoa hartzen da oinarri bezala: y = mx + b m = zuzenaren malda. - positiboa = zuzena gorakorra - negatiboa = zuzena beherakorra b = ordenatuaren jatorria, zuzenak OY ardatza non ebakitzen du.

ADIBIDEA

Elkartu grafiko bakoitza dagokion adierazpen aljebraikoarekin eta izenarekin. Adierazpen aljebraikoak:

y = b y = mx y = mx + b

a (funtzio konnstantea)

b (funtzio lineala)

c (funtzio afina)

Adierazpen aljebraikotik grafikora

a) Zenbat puntu behar dira zuzen bat irudikatzeko?

BI puntu nahikoa dira.

b) Nola lortzen dira zuzen batekoak diren puntuak adierazpen aljebraikotik abiatuta?

Adierazpen aljebraikoan x-ri balioak eman eta haiei dagozkien y-ak kalkulatu.P(x, y) bikoteak izango dira zuzenaren puntuak.zango da.

c) Nola jakin daiteke puntu bat zuzen baten gainean dagoen ala ez, adierazpen aljebraikotik abiatuta?

x-ren ordez dagokion balioa ordezkatu eta y kalkulatu. Balio horrek puntuaren ordenatuarekin bat egiten badu, puntua zuzenekoa izango da; gainerakoan, kanpokoa.

ADIBIDEA

Adierazpen aljebraikotik grafikora

Demagun honako funtzio baten adierazpen aljebraikoa: y = 2x – 3

Adierazpen grafikoa lortzeko pausoak:

3) Puntuak zuzen batekin lotu:

2) Puntuak koordenatu kartesiarretan kokatu:

1) x-ri balioak eman eta y kalkulatu:

x= -2; y = -7 x= -1; y = -5 x= 0; y = -3 x= 1; y = -1 x= 2; y = 1

19J. Aplikazio jarduera.

1. Esan zein den honako zuzen hauetako bakoitzaren malda eta ordenatuaren jatorria. Ondoren, eman itzazu zuzen bakoitzetik bi puntu eta grafika marraztu.

EMAITZAK

2. Esan puntua zuzenean dagoen ala ez. Arrazoitu erantzuna.

EMAITZAK

20J. Aplikazio jarduera.

1. Irudika itzazu honako funtzio hauek

EMAITZAK

Adierazpen grafikotik aljebraikora

a) Nola kalkulatzen da zuzenaren malda zuzenen adierazpen grafikoari erreparatuz?

Erreferentziazko bi puntu hartu eta, haietatik abiatuz, y-ren eta x-ren aldaketa kalkulatu. Bi zenbaki horien zatidura da malda.

P(x1, y1) eta Q(x2, y2) zuzenaren bi puntu izanik:

b) Nola kalkulatzen dira zuzenaren ordenatuaren jatorria adierazpen grafikoari erreparatuz??

Zuzenak OY ardatza zein puntutan mozten duen begiratu behar dugu.

ADIBIDEA

Adierazpen grafikotik aljebraikora

A=(0,-3) eta B=(1,-1)

Demagun honako funtzio baten adierazpen grafikoa:

Adierazpen aljebraikoa lortzeko pausoak:

1) Bi punturen koordenatuak identifikatu:

m = 2/1 = 2

2) x eta y ardatzetan emandako aldaketa kalkulatu:

x = 1-0 = 1 y = -1 -(-3) = 2

3) y eta x arteko zatiketa da malda:

b = -3

4) Ikusi lerroak OY ardatza non mozten duen b lortzeko:

5) m eta b adierzapen orokorrean ordezkatu:

y = mx + b = 2x + (-3) = 2x - 3

19J. Aplikazio jarduera.

Idatzi grafiko bakoitzari dagokion adierazpen aljebraikoa (irudiak klikatu handiago ikusteko).

EMAITZAK

18J. Adierazpen grafikotik aljebraikora

Idatz itzazue a, b, c eta d grafikoko zuzenei dagozkien adierazpen aljebraikoak:

EMAITZAK

Zer dira ekuazio sistemak?

Egoera askotan, beharrezkoa izaten da bi ekuazio erlazionatu eta bientzako soluzio komun bat bilatzea. Kasu horietan, ekuazio-sistemak sortzen dira. Demagun bi aparkaleku ditugula gertu, bakoitzak bere tarifa bereziarekin. Kostua funtzio lineal baten bidez adierazi daiteke :

Udaletxekoa: 0,05 €/min Iturriaga: 3€ sartzeagatik 0,03 €/min

y = 0,03x + 3

y = 0,05x

Zer dira ekuazio sistemak?

Zein aparkaleku komeni zaigun jakiteko, zer denbora-baliorentzat ematen duten soluzio bera bi aparkalekuek kalkulatu beharko dugu.

Honela ondorioztatu dezakegu 150 minutu azpitik udaletxeko aparkalekua merkeagoa dela, eta 150 minutu baina gehiago egon behar bagara, Iturriaga aparkalekua aukera hobea dela .

Ekuazio sistema motak

bateragarria eta mugagabea

bateraezina

bateragarria eta mugatua

Sistemaren ekuazioek adierazpen grafiko bera dute. Infinitu soluzio ditu.

Bi zuzenak ebakitzen dira. Soluzioa (1, 1) puntuak adierazten du.

Zuzenak elkarrekiko paraleloak dira.Ez du soluziorik.

Ekuazio sistemen ebazpena

Hiru metodo aljebraiko erabil daitezke ekuazio-sistema linealak ebazteko:

Berdintze metodoa

Laburtze metodoa

Ordezkate metodoa

Ordezkatze metodoa

Berdintze metodoa

Laburtze metodoa

Metodo grafikoa

37J. Ariketak

Ebatzi honako ekuazio-sistema lineal hauek, proposatutako metodoa erabiliz:

EMAITZAK

38J. Ariketak

EMAITZAK

EMAITZAK

y = -3x + 1 m (malda) = -3; beherakorra da. b (ordenatu jatorria) = 1

Abibidez, zenbaki arrunt bati bere bikoitza egokitzean, x bakoitzari y bakar bat egoitzen zaio. Beraz, funtzio bat sortzen da.

y = -3x + 1 m (malda) = -3; beherakorra da. b (ordenatu jatorria) = 1

a:x = 4; y = 0

c: x = −2; y = 2

Kasu posibleak

Gehi-gehi

5 + 2 · (x + 3) = 5 + 2x + 6

Ken-gehi

5 – 2 · (x + 3) = 5 – 2x – 6

Ken-ken

5 – 2 · (x - 3) = 5 – 2x + 6

Adibidez

3 x = 9

x = 9/3

x = 3

y = -3x + 1 m (malda) = -3; beherakorra da. b (ordenatu jatorria) = 1

y = 2x - 3 x= -2; y =2(-2) - 3 = -7 x= -1; y =2(-1) - 3 = -5 x= 0; y =2(0) - 3 = -3 x= 1; y =2(1) - 3 = -1 x= 2; y =2(2) - 3 = 1