MATEMATICAS

UNIVERSIDAD DEL ISTMO Materia Matemática Tema Evolución histórica y la clasificación de los conjuntos numéricos, tomando en cuenta los números numéricos Nicole Berrugate 8-965-1584 Laura Moreno 3-724-1680 Profesora Mauyuri Meza 2023

CLASIFICACION DE CONJUNTO NUMERICO

Numeros Naturales

Densidad de numeros racionales

Al hablar de densidad en los números racionales estamos haciendo la observación que entre dos número racionales podemos ubicar otro número racional. Esta propiedad de los números racionales es muy propia de este conjunto numérico.

Numeros Enteros

Operaciones fundamentales y propiedades con numeros racionales

Fracciones propias, impropias, simples y equivalentes

Conjunto de numeros reales

CONCLUSION

Los conjuntos numéricos permiten representar varias situaciones del entorno, como cantidades de elementos que tiene un conjunto (los natural), las partes de una unidad (racionales), la medida de la diagonal de un cuadrado de lado (los irracionales) o diversas cantidades o entes físicos , que nos funciona para desarrollar las habilidades inductivas, deductivas y de síntesis de información. El conocer cada uno de estos diferentes tipos de numeros nos permite un mejor desempeño a la hora de realizar cualquier fraccion, desde la base primordial.

Opuesto de un numero enteroEl opuesto de un número entero se le conoce también como el inverso aditivo, y son aquellos números que se encuentra a la misma distancia del cero en la recta numérica. Sea a un número entero de tal manera que su opuesto es –a Ejemplo: Opuesto de 67 es - 67 Opuesto de -34 es 34 Opuesto de 0 es 0 (es el único número que no tiene signo)

Fracciones SimplesSe le considera fracción simple aquella fracción donde el numerador o denominador son iguales. Ejemplo: 𝟓𝟏/𝟓𝟏 ; −𝟔 /−𝟔 ; 𝟒 /4

Conjunto de numeros naturales

Los primeros números en aparecer fueron los naturales, los cuales se utilizaron paracontar y otorgar la cantidad de factores de un conjunto. El conjunto de los números naturales parte del número cero (0), que indica el conjunto vacío, este conjunto se distingue con la letra ene mayúscula (N).

División de números naturales Esta operación se cumple siempre y cuando el dividendo sea mayor y divisible con el divisor. Símbolos : ; ÷ Ejemplo: 24 : 6 = 4 . Propiedades - Reintegrativa: esta propiedad se cumple siempre que el cociente se multiplica con el divisor y su resultado da el dividendo. Ejemplo: del ejemplo anterior 4 es nuestro cociente y si lo multiplicamos por el divisor 6 nos resulta el dividendo que es 24. Ejemplo 4 x 6 = 24 Divisor 1: al dividir por 1, el dividendo y cociente serán iguales. Ejemplo: 145 ÷ 1 = 145

Fracciones ImpropiasLlamadas así a las fracciones que tiene el numerador mayor que el denominador, su valor es mayor de 1. Ejemplo: 𝟓𝟏/𝟒𝟎 ; −𝟔 /−2

Propiedades que poseen los números racionales Es un conjunto de infinitos elementos. Es denso. Todo número racional tiene un decimal equivalente. Operaciones fundamentales con los números racionales Suma y resta de racionales de igual denominador (homogéneas) : se suman algebraicamente los numeradores colocando el signo del término de mayor cantidad y como denominador el mismo de la operación indicada − 92 18 + 4 18 + 23 8 = −92 + 4 + 23 18 = −92 + 27 18 = − 65 18 Suma y resta de racionales de distinto denominador (heterogéneas): en este caso se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, para reducir los denominadores a uno solo y de esta forma sumar algebraicamente los numeradores. Multiplicación: El producto de dos o más racionales es otro racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores, y simplificar si es posible. División: en la división de dos racionales la misma se convierte multiplicación del dividendo por el inverso del divisor.

Numeros RacionalesCuando el hombre no pudo resolver división exactas tales como 62 : 3; 80 : 6; surge la necesidad de expandir el conjunto de los números enteros para que estas clases de divisiones tengan una respuesta. Este conjunto se le llamo racionales, que se representa con la letra Q mayúscula.Los números racionales son de la forma a b, donde a se le llama numerador del racional (fracción) y b se le llama denominador del racional (fracción), ambos números son enteros y b ≠0.

Representacion de un decimal en la forma a/bUn número de la forma 𝑎 𝑏 , b≠0, se representan como números decimales exactos o periódicos. Los mismos se pueden representar en la recta numérica.Los números decimal exacto son aquell os que tienen limitada cantidad de cifras decimales. Ejemplo: 2.3, 0.97, -0.789 Y los números decimales periódicos son aquellos en las que sus cifras decimales se repiten varias veces, y al mismo tiempo tienen infinitas cifras. Los números decimales periódicos se clasifican en:  Decimales periódicos puros: son aquellos en que el período empieza inmediatamente después del punto decimal. Ejemplo: 6.131313….; - 45.970397039703…  Decimales periódicos mixtos son los que tienen cifras decimales distintas antes del periodo: Ejemplo: -78.9344444444…; 0. 45666666… Algunos autores en vez de punto decimal utilizan coma decima

Valor Absoluto Se conoce el valor absoluto de un número entero o racional, como la distancia que separa un número entero o racional positivo o negativo del cero, sin tomar en consideración el signo que posee. El valor absoluto se simboliza escribiendo el número entero o racional, entre dos barras paralelas. Ejemplo: | -245 | = 245 ; |5 6 | = 5 6 ; - | -24 | = - 24 El primer ejemplo | -245 | se lee: el valor absoluto de menos 245 es igual a 245. El segundo ejemplo| 5 6 |se lee: el valor absoluto de cinco sexto es igual a cinco sexto. El tercer ejemplo - | -24 | = - 24, su resultado es negativo porque el primer signo menos esta fuera del símbolo de valor absoluto.

Multiplicación de números naturales La multiplicación de números naturales se puede indicar con un punto, usando paréntesis, o con una equis minúscula (x). Las propiedades que se cumplen en esta operación son la asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del multiplicación con respecto a la suma. -Existencial: La multiplicación de dos o más números naturales da como resultado un número natural. -Asociativa: Si a, b, c son números naturales, entonces (a x b) x c = a x (b x c) Ejemplo: (14 x 5) x 10 = 70 x 10 = 700 (14 x (5 x 10) = 14 x 50 = 700 Al coincidir ambos resultados la multiplicación es asociativa. - Conmutativa: Si a, b son números naturales, entonces a x b = b x aEjemplo: 16 x 8 = 128 8 X 16 = 128 Los resultados son iguales por lo cual la multiplicación es conmutativa. -Elemento neutro: En el caso de la multiplicación el elemento neutro es el 1, es decir que, todo para todo n, es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a x 1 = a Ejemplo 109 x 1 = 109 - Distributiva del producto respecto de la suma: Sean a, b, c números naturales, entonces a x (b + c) = a x b + a x c Ejemplo: 15 x (15 + 6) = 15 x 21 = 315 15 x 15 + 15 x 6 = 225 + 90 = 315 De esta forma los resultados coinciden, 15 x (15 + 6) = 15 x 15 + 15 x 6

OPERACIONES FUNDAMENTALES Adición (+) de números naturales La adición de números naturales cumple las propiedades conmutativa, asociativa y elemento neutro. - Existencial: La suma de dos o más números naturales da como resultado un número natural. - Conmutativa: Sean a, b números naturales tales que a + b = b + a son conmutativos. Ejemplo: sean 5, 6 elementos de los naturales de tal manera que 5 + 6 = 11 y 6+5=11, luego la suma es conmutativa. - Asociativa: Si a, b, c son números naturales, entonces cumplen: (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: sean 10, 14, 24 elementos de los naturales de forma que: (10 +14) +24 = 24 + 24 = 48 10 + (14 +24) = 10 + 38 = 48 Como ambas operaciones son iguales la suma es asociativa. - Elemento neutro: Todo número natural sumado con el 0 da el mismo número. Ejemplo: 5 + 0 = 5

Numeros realesEl conjunto de los números reales se distingue con la ere mayúscula R. Las operaciones que se realizan en este conjunto son las mismas que se realizan en el conjunto con los números racionales, mezclando los conjuntos numéricos estudiados en este módulo. Ejemplo: Esquema de los números realesNumeros complejos Los números complejos nacen de la necesidad de satisfacer ecuaciones cuadráticas con resultado de raíces negativas. Este conjunto se identifica con la letra c mayúscula C.

Fracciones PropiasCuando el numerador de una fracción es menor que del denominador la fracción es propia. Y su valor es menor de 1. Ejemplo: 𝟏/ 𝟓𝟏 ; −𝟔/ −𝟏6

Sustracción (-) de números naturales: Esta operación se realiza en el conjunto de los números naturales siempre y cuando el minuendo sea mayor que el sustraendo. Ejemplo: 24 – 10 = 14 pero 10 – 24 no se puede realizar en el conjunto de los números naturales. Propiedades  Reintegrativa: Se cumple cuando la adición de la diferencia con el sustraendo da el minuendo Ejemplo: 24 – 10 = 14 14 + 10 = 24  Sustraendo cero: A todo número natural que se le resta cero, da el mismo número. Ejemplo: 15 – 0 = 15

Fracciones EquivalentesSe considera que dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal, representa a la unidad. Ejemplo: al querer representar los siguientes números en la recta numérica se verifica que son el mismo punto en la recta. Ejemplo: 2/3 = 4/6 = 6/9 ¿Por qué fracciones equivalentes? Porque cuando se amplifica (multiplica) o se simplifica (divide) por un mismo número la fracción mantiene su valor. La verificación de que dos fracciones son equivalentes se realiza al multiplicar de forma cruzada los elementos de la misma, si estos productos son iguales las fracciones son equivalentes.Ejemplo: Verifique si estas fracciones son equivalentes 2/3 y 4/6 2/3 = 4/6 2x 6 = 3 x 4 (multiplicación cruzada) 12 = 12 como el resultado es igual las fracciones son equivalentes. - Verifique si estas fracciones son o no equivalentes 4/3 y - 4/3 4/3 = -4/3 4 x 3 = 3 x (-4) 12 = -12 como el resultado es diferente las fracciones no son equivalentes (el resultado – 12 indica un número negativo)

Numeros EnterosEn un momento de la antigüedad el conjunto de los números naturales no era lo suficiente grande para contar y demostrar deudas, temperaturas bajo cero, los niveles del mar, altitudes, saldos, fechas antes y después de Cristo, entre otros. Para expresar estas cantidades se crean los números negativos, estos en compañía de los números naturales (llamados números positivos en este conjunto) forman el conjunto de los números enteros. Este conjunto se representa con la letra zeta mayúscula: Z = {…, -10, -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…} Ejemplos: Pérdida de $5.00 -5.00 Un submarino bajo 300 metros bajo el nivel del mar -300 La temperatura subió 45° Centígrado (°C) +45 410 años después de Cristo (D. C.) +410