Numeros Complejos

Numeros complejos

Algebra Superior

• ¿Qué es un número complejo e imaginario?

Un número complejo es un número que consta de una parte real y una parte imaginaria. La parte real es un número real, mientras que la parte imaginaria se multiplica por la unidad imaginaria "i", que es igual a la raíz cuadrada de -1. La unidad imaginaria "i" se utiliza para representar números imaginarios. Por otro lado, un número imaginario es un número que se obtiene al multiplicar un número real por la unidad imaginaria "i".

• ¿Cómo se suman o restan dos números complejos?

Para sumar o restar dos números complejos, se deben sumar o restar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado. Por ejemplo, si tenemos dos números complejos, a + bi y c + di, la suma de estos números se realiza sumando las partes reales (a + c) y las partes imaginarias (b + d). Por lo tanto, la suma de los dos números complejos sería (a + c) + (b + d)i.

Recuerda que en ambos casos, se suman o restan las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, manteniendo la notación de "i" para la parte imaginaria.

situacion practica

caso A)

caso C)

caso b)

Considerando que z1=3+2i, z2=1-4i, z3=1/2+1/4i w1= 7-3i, w2 = 2+5i

Considerando que z = 3+4i es un numero complejo

Si tienes el número complejo z=2+3i rota este número en el plano complejo 90° en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Cuál es el número complejo que se obtiene después de realizar la rotación? Exprésalo en su forma binómica y polar.

El teorema de De Moivre establece una relación importante entre las potencias de un número complejo y su forma trigonométrica. Este teorema establece lo siguiente: Dado un número complejo z en forma trigonométrica z = r(cosθ + isenθ), donde r es el módulo de z y θ es el argumento de z, y un número entero n, entonces la n-ésima potencia de z se puede expresar como: z^n = r^n (cos(nθ) + isen(nθ)) En otras palabras, el teorema de De Moivre establece que al elevar un número complejo en forma trigonométrica a una potencia entera, el módulo se eleva a la misma potencia y el argumento se multiplica por esa potencia.

- Teorema de moivre

Conversiones

<->

forma polar binomica

Binomica a forma polar

• Calcular el módulo (r): El módulo de un número complejo se calcula utilizando la fórmula r = √(a^2 + b^2)
• Calcular el argumento (θ): El argumento de un número complejo se calcula utilizando la fórmula θ = atan(b/a)
• Escribir el número complejo en su forma polar: Una vez que se ha calculado el módulo y el argumento, el número complejo se puede escribir en su forma polar como (r, θ).

• Calcular la parte real (a): La parte real del número complejo se calcula utilizando la fórmula a = r * cos(θ), donde r es el módulo y θ es el argumento del número complejo.
• Calcular la parte imaginaria (b): La parte imaginaria del número complejo se calcula utilizando la fórmula b = r * sen(θ), donde r es el módulo y θ es el argumento del número complejo.
• Escribir el número complejo en su forma binómica (a+bi).

ejemplos de aplicaciones en ciencia, tecnologia ...

Ingenieria Electrica

Teoría de Control

Teoría de campos electromagnéticos.

Fisica Cuántica

Procesamiento de Señales

Circuitos Electricos.

Calcular z1-z3

Dado que z1 = 3 + 2i y z3 = 1/2 + 1/4i, podemos realizar la resta de la siguiente manera: z1 - z3 = (3 + 2i) - (1/2 + 1/4i) Para las partes reales, restamos 3 y 1/2: Parte real: 3 - 1/2 = 5/2 Para las partes imaginarias, restamos 2i y 1/4i: Parte imaginaria: 2i - 1/4i = 8/4i - 1/4i = 7/4i Por lo tanto, el resultado de z1 - z3 es: z1 - z3 = 5/2 + 7/4

Numeros Complejos

e imaginario

Es importante destacar que los números imaginarios no tienen una representación en la recta numérica real, ya que no se pueden expresar como números reales. Sin embargo, son útiles en matemáticas y en diversas aplicaciones científicas y tecnológicas.

• La unidad imaginaria, denotada por "i", se define como la raíz cuadrada de -1.
• Un número complejo se puede expresar de tres formas diferentes: la forma binómica, la forma polar y la forma exponencial.

Ejemplos

de aplicaciones

Estos son solo algunos ejemplos de cómo los números complejos se aplican en diversas áreas de la ciencia, la tecnología y la investigación. Su capacidad para representar tanto la parte real como la imaginaria de una cantidad los hace extremadamente útiles en el modelado y análisis de fenómenos complejos.

Resta

de Numeros complejos

De manera similar, para restar dos números complejos, se deben restar las partes reales y las partes imaginarias por separado. La resta de los dos números complejos se realiza restando las partes reales (a - c) y las partes imaginarias (b - d). Por lo tanto, la resta de los dos números complejos sería (a - c) + (b - d)i.

• Recuerda que en ambos casos, se suman o restan las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, manteniendo la notación de "i" para la parte imaginaria.

z=2+3i rota este número en el plano complejo 90° en sentido antihorario alrededor del origen. Expresión binómica.

La fórmula de rotación en sentido antihorario de un ángulo θ alrededor del origen es: z' = z * (cos(θ) + i*sin(θ)) En este caso, θ = 90°. Sustituyendo los valores en la fórmula: z' = (2 + 3i) * (cos(90°) + i*sin(90°)) Recordemos que cos(90°) = 0 y sin(90°) = 1. Simplificando la expresión: z' = (2 + 3i) * (0 + i*1) = (2 + 3i) * i = 2i + 3i^2 Sustituyendo los valores: z' = 2i + (-3) = -3 + 2i Por lo tanto, el número complejo obtenido después de rotar z = 2 + 3i 90° en sentido antihorario alrededor del origen es z' = -3 + 2i.

Considerando que z = 3+4i

• Transformarlo en su forma polar En este caso, a = 3 y b = 4, por lo tanto: r = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 En este caso, θ = arctan(4/3). podemos encontrar que θ ≈ 0.93 radianes. Por lo tanto, la forma polar del número complejo z = 3 + 4i es: z = 5(cos(0.93) + i*sin(0.93))

Recuerda

Que al realizar estas conversiones, es importante tener en cuenta las propiedades de los ángulos y los cuadrantes para obtener el argumento correcto y ajustar el valor según sea necesario.

Recuerda

la fórmula θ = atan(b/a), donde atan es la función arcotangente y a y b son la parte real y la parte imaginaria del número complejo, respectivamente. Es importante tener en cuenta que esta fórmula puede dar resultados en el rango de -π a π, por lo que se debe ajustar el valor del argumento según el cuadrante en el que se encuentre el número complejo.