Funciones

Funciones

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Matemáticas Aplicadas a la Administración

Alumna: Martínez Mendoza María Isabel Grupo: 1106

Función

Se dice que una función f(x) es de una variable real si a cada número real del dominio D, corresponde un único número real del rango. Su expresión formal es:

f: D f ⊂ R → R x⟼y = f(x)

donde: f = es la función (regla de correspondencia) de R en R. D f es el dominio de la función f. R es el codominio de la función. x es la variable independiente. y = f(x) es la variable dependiente (imagen de x).

Manera formal de su representación

Imf = y ∈ R │ ∃ x ∈ \ Df, f(x) = y

Dominio → Función → Rango

Rango

Dominio

El dominio de una función está formado por aquellos valores reales de x para los que se puede calcular la imagen f (x). Es el conjunto de elementos de x que hace posible que la función exista. Se puede determinar de distintas formas dependiendo del tipo de función que se tenga.

El rango de una función al conjunto de resultados posibles que esta toma a partir de unos valores específicos (dominio). De esta manera, el rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (los valores resultantes de “y”), luego de sustituir todos los posibles valores de “x” (dominio) en la función.

Para determinarlo se debe verificar donde la función no existe, y que en general, se toma en cuenta lo siguiente: 1) No existe la división entre cero. 2) Las raíces negativas de índice par no pueden ser negativas.

El Rango de f(x) son todos los valores de “y”, donde hay un número “x” con y = f(x)

Plano Cartesiano

También conocido como el plano euclidiano o sistema de coordenadas, es un sistema de referencias bidimensional formado por dos rectas infinitas perpendiculares entre sí, cuya intersección es denominada como el origen del sistema (0,0); ya que este punto es la referencia para ubicar cualquier otro punto en el plano.

Este sistema de coordenadas está conformado por dos rectas infinitas, una horizontal que es llamada como el eje de las abscisas o eje de las equis, y una recta vertical mundialmente conocida como el eje de las ordenadas o el eje de las ‘’y’’. Este es dividido en cuatro partes semejantes llamadas cuadrantes.

Tipos de funciones

Lineales

Es una función de proporcionalidad directa, recta que pasa por el origen de coordenadas, su expresión algebraica es de la forma: donde es la pendiente de la recta.

• m es la pendiente de la función
• n es la ordenada (en el origen) de la función

Ejemplo:

El dominio de funciones lineales es igual a todo el conjunto de números reales de x. Esto se debe a que no tenemos ninguna restricción en los valores de x. De igual forma, el rango de funciones lineales también es todo el conjunto de números reales de y.

EXponenciales

La función exponencial se denomina así debido a que la variable independiente se halla en la posición del exponente. Se espresa:

a: Es la base de la función exponencial. Debe ser un número real mayor que 0 y distinto de 1. El valor de la base determina si la función es creciente o decreciente:

El rango de la función exponencial son todos los números reales mayores que 0, lo cual también se advierte de la gráfica.

El dominio de la función exponencial tipo f(x)=ax es el conjunto de los reales:

• Si a>1 la función es creciente
• Si a<1 la función es decreciente

El Dominio de la función exponencial son todos los números reales de -∞ hasta ∞. (-∞, ∞)

El Rango de la función exponencial es el intervalo de cero (0) hasta ∞. (0, ∞). Es decir, todos los reales “positivos”

Cuadraticas

La parábola es la gráfica de la función cuadrática o polinomio de segundo grado, cuya ecuación general es:

La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es negativa

La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones. La parábola "básica", y = x 2

f ( x ) = ax 2 + bx + c

Su dominio cualquier x es una entrada legítima, mientras que el rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).

Si el coeficiente de x 2 es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

Logarítmicas

Una función logarítmica es una función de la forma f(x)= logax, donde a ∈ R con a>0, a =1 y x es un número real (cuando , la función es creciente); cuando, la función es decreciente 0<a<1, esta es la inversa de la función exponencial. Es decir, si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

El dominio es el intervalo de cero (0) hasta ∞. (0, ∞). Es decir, todos los números reales positivos

El rango de la función logarítmica son todos los números reales de -∞ hasta ∞. (-∞, ∞)

Ejemplo:

1. El dominio es muy importante porque la función raíz cuadrada no está definida si la expresión dentro del signo del radical (o, sencillamente, dentro de la raíz cuadrada) es negativa
2. La región (o conjunto) de valores de x que hacen que dicha expresión dentro de la raíz cuadrada sea negativa, no pertence, definitivamente, al dominio de la función. Como resultado, no habrá gráfica alguna para esa región (o conjunto) de valores de x

Función raíz cuadrada

Se refiere a una razón o cociente, irreductible, de dos polinomios. Tiene la forma general:

f(x) = P(x) /Q(x)

donde:

• P(x) y Q(x) son polinomios.
• x es la variable independiente.
• Q(x) ≠ 0 es condición esencial.

¿Sabías que...Las gráficas de funciones raíz cuadrada son siempre líneas curvas. La curva de arriba luce como la mitad de una parábola acostada de lado. En efecto, la función raíz cuadrada que hemos graficado arriba viene de la expresión y2= x; esta expresión está en la forma de la ecuación de una parábola, pero con las variables "x , y" intercambiadas. También debemos tener presente que cuando resolvemos esta expresión para y, obtenemos dos soluciones:

y= √ x , y =- √ x. La gráfica de arriba muestra únicamene la raíz cuadrada positiva de ésta respuesta.

Valor absoluto

• Su dominio es todos los números reales.
• Su rango es todos los números reales mayores que o iguales a cero.

Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto

Ejemplo:

La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x | está definida como

Constante

Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado. para cualquier x 1 y x 2 en el dominio.

• El dominio de una función constante abarca todos los números reales, es decir, ] -∞ , +∞ [, ya que, aunque la imagen de la función nunca cambia, el valor de "x" puede tomar cualquier valor real

• En cambio, el rango de la función se limita al valor de la constante "k".

¡Gracias!

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