NUMEROS COMPLEJOS

NUMEROS COMPLEJOS

OPERACIONES BASICAS

Empezar

Realizaremos una multiplicación con numeros complejos(z1)(z3)

Le asignaremos un valor para calcular el producto de los números complejos z1 = 3 + 2i y z3 = 1/2 + 1/4i

Para dar inicio con la solucion simplemente multiplicamos sus partes reales e imaginarias por separado y luego combinamos los resultados.

simplemente multiplicamos sus partes reales e imaginarias por separado y luego combinamos los resultados. Primero, multiplicamos las partes reales: (3)(1/2) = 3/2 Luego, multiplicamos las partes imaginarias: (2i)(1/4i) = (2/4) = 1/2

Finalmente, combinamos los resultados para obtener el producto de los números complejos: (z1)(z3) = (3/2) + (1/2)iSecciones como esta te ayudarán a poner orden

Por lo tanto, el producto de z1 y z3 es (3/2) + (1/2)i.

AHORA REALIZAREMOS OTRA MULTIPLICACIÓN(z1)(z3)

Para calcular el producto de los números complejos le asignaremos el siguiente valor z1 = 3 + 2i y z3 = 1/2 + 1/4i

Simplemente multiplicamos sus partes reales e imaginarias por separado y luego combinamos los resultados.

Primero, multiplicamos las partes reales: (3)(1/2) = 3/2

Luego, multiplicamos las partes imaginarias: (2i)(1/4i) = (2/4) = 1/2

Finalmente, combinamos los resultados para obtener el producto de los números complejos: (z1)(z3) = (3/2) + (1/2)i

Por lo tanto, el producto de z1 y z3 es (3/2) + (1/2)i.

A CONTINUACION PRESENTAREMOS OTRA MULTIPLICACION (z3)(w1)

para resolver la multiplicacion consideramos los siguientes valores par z3 = 1/2 + 1/4i y w1 = 7 - 3i

Primero, multiplicamos las partes reales: (1/2)(7) = 7/2

Luego, multiplicamos las partes imaginarias: (1/4i)(-3i) = (3/4)

Finalmente, combinamos los resultados para obtener el producto de los números complejos: (z3)(w1) = (7/2) + (3/4)i Por lo tanto, el producto de z3 y w1 es (7/2) + (3/4)i.

para el siguiente ejercicio realizaremos una divición

((z1)(z2)/z3)

En donde asignaremos los siguientes valores z1=3+2i, z2=1-4i, z3=1/2+1/4i

Para calcular la expresión ((z1)(z2)/z3), primero debemos realizar las operaciones de multiplicación y división de los números complejos z1, z2 y z3.

Comenzamos multiplicando z1 y z2: (z1)(z2) = (3 + 2i)(1 - 4i) = 3(1) + 3(-4i) + 2i(1) + 2i(-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i - 8(-1) = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i

Paso 3

Paso 2

Para simplificar la división, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador: ((z1)(z2)/z3) = (11 - 10i) * (2 - 4i) / (1/2 + 1/4i) * (2 - 4i)

dividimos el resultado anterior entre z3: ((z1)(z2)/z3) = (11 - 10i) / (1/2 + 1/4i)

Paso 5

Paso 4

Simplificamos el numerador y el denominador: ((z1)(z2)/z3) = (22 - 64i + 40i^2) / (1 - 1/2i^2) Recordemos que i^2 = -1: ((z1)(z2)/z3) = (22 - 64i + 40(-1)) / (1 - 1/2(-1))

Realizamos la multiplicación en el numerador y el denominador: ((z1)(z2)/z3) = (22 - 44i - 20i + 40i^2) / (1 - 2i + 1/2i - 1/2i^2)

Paso 7

Paso 6

Finalmente, realizamos la división: ((z1)(z2)/z3) = (-18 - 64i) * (2/3) = -36/3 - 128i/3 = -12 - 128i/3

Continuamos simplificando: ((z1)(z2)/z3) = (22 - 64i - 40) / (1 + 1/2) ((z1)(z2)/z3) = (-18 - 64i) / (3/2)

Por lo tanto

((z1)(z2)/z3) es igual a: -12 - 128i/3

AHORA REALIZAREMOS LA SIGUIENTE OPERACIÓN

w1/w2

PARA LO CUAL DIREMOS QUE:

w1 = 7 - 3i y w2 = 7 - 3i.

Dividir dos números complejos implica multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de w2 = 7 - 3i es simplemente w2 mismo, ya que no hay cambio en la parte imaginaria.Escribe un titular genial

Paso 2

Paso 3

Paso 1

Multiplicamos el numerador y el denominador: w1/w2 = (7 - 3i)(7 - 3i) / (7 - 3i)(7 - 3i)

Multiplicamos el numerador y el denominador por w2:w1/w2 = (7 - 3i) / (7 - 3i)

Realizamos la multiplicación en el numerador y el denominador: w1/w2 = (49 - 21i - 21i + 9i^2) / (49 - 21i - 21i + 9i^2)

Paso 5

Paso 4

Paso 6

Simplificamos aún más: w1/w2 = (40 - 42i) / (40 - 42i)

Simplificamos el numerador y el denominador: w1/w2 = (49 - 42i + 9(-1)) / (49 - 42i - 9) Recordemos que i^2 = -1: w1/w2 = (49 - 42i - 9) / (49 - 42i - 9)

Finalmente, realizamos la división:w1/w2 = 1Por lo tanto, w1/w2 es igual a 1.

ELEVACIÓN A UNA POTENCIA

AHORA SE REALIZARA LA SIGUENTE OPERACIÓN (z3)^2

PARA ESTO LE ASIGNAREMOS EL SIGUIENTE VALOR z3 = 1/2 + 1/4i

procedemos de la siguiente manera

(z3)^2 = (1/2 + 1/4i)^2.

Para simplificar la expresión, utilizaremos la fórmula del binomio cuadrado:

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2.

Aplicando esta fórmula a z3, tenemos: (z3)^2 = (1/2)^2 + 2(1/2)(1/4i) + (1/4i)^2 Simplificamos cada término: (1/2)^2 = 1/4 2(1/2)(1/4i) = 1/4i (1/4i)^2 = (1/4)^2 * i^2 = 1/16 * (-1) = -1/16 Combinando los resultados, obtenemos: (z3)^2 = 1/4 + 1/4i - 1/16 Para simplificar la expresión, podemos encontrar un denominador común: (z3)^2 = (4/16) + (4/16)i - (1/16) Sumamos los términos: (z3)^2 = (4 + 4i - 1)/16 Simplificamos el numerador: (z3)^2 = 3/16 + 4i/16

Finalmente, simplificamos la fracción: (z3)^2 = 3/16 + i/4 Por lo tanto, el cuadrado del número complejo z3 es: 3/16 + i/4.

RESUELVE EL SIGUIENTE EJERCICIO

Considerando que Z=3+4i y es un número complejo. Transformarlo a su forma polar. Representarlo sobre el plano complejo, tanto en su forma cartesiana como en su forma polar

Para transformar el número complejo Z = 3 + 4i a su forma polar, necesitamos calcular su magnitud y su ángulo. La magnitud de un número complejo se calcula utilizando el teorema de Pitágoras en el plano complejo. En este caso, la magnitud de Z se obtiene como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria: |magnitud de Z| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 El ángulo de Z se puede calcular utilizando la función arcotangente (tan^(-1)) de la parte imaginaria dividida por la parte real: ángulo de Z = tan^(-1)(4/3) ≈ 53.13° Por lo tanto, la forma polar de Z es Z = 5 ∠ 53.13°.

Ahora, representemos Z en el plano complejo tanto en su forma cartesiana como en su forma polar. En la forma cartesiana, Z = 3 + 4i se encuentra en el punto (3, 4) en el plano complejo, donde el eje x representa la parte real y el eje y representa la parte imaginaria. En la forma polar, Z = 5 ∠ 53.13° se representa como un vector que parte del origen y forma un ángulo de 53.13° con el eje x, con una longitud de 5 unidades.

53.13°

Resuelve el siguiente ejercicio

Si tienes el número complejo z=2+3i, rota este número en el plano complejo 90° en sentido antihorario alrededor del origen. ¿Cuál es el número complejo que se obtiene después de realizar la rotación? Exprésalo en su forma binómica y polar.

Para rotar el número complejo z = 2 + 3i 90° en sentido antihorario alrededor del origen, podemos utilizar la fórmula de rotación en el plano complejo. La fórmula de rotación en sentido antihorario de un ángulo θ alrededor del origen es: z' = z * e^(iθ) Donde z' es el número complejo resultante después de la rotación, z es el número complejo original y e^(iθ) es el número complejo que representa la rotación. En este caso, θ = 90°, por lo que la fórmula se convierte en: z' = (2 + 3i) * e^(iπ/2) Ahora, sustituimos el valor de z = 2 + 3i en la fórmula: z' = (2 + 3i) * e^(iπ/2) Para simplificar la expresión, necesitamos convertir e^(iπ/2) a su forma polar. Sabemos que e^(iθ) en su forma polar es igual a cos(θ) + i * sin(θ). Entonces, e^(iπ/2) = cos(π/2) + i * sin(π/2) = 0 + i * 1 = i Ahora, multiplicamos z por i: z' = (2 + 3i) * i Realizamos la multiplicación: z' = -3 + 2i

Por lo tanto, después de realizar la rotación de 90° en sentido antihorario alrededor del origen, el número complejo resultante es z' = -3 + 2i. Expresado en su forma binómica, z' = -3 + 2i. Expresado en su forma polar, la magnitud de z' se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria: |magnitud de z'| = √((-3)^2 + (2)^2) = √(9 + 4) = √13 El ángulo de z' se puede calcular utilizando la función arcotangente (tan^(-1)) de la parte imaginaria dividida por la parte real: ángulo de z' = tan^(-1)(2/-3) ≈ -33.69° Por lo tanto, la forma polar de z' es z' = √13 ∠ -33.69°.