Le calcul mental au cycle 2 (2H) CM2

Enseigner le calcul mental au cycle 2

Comment aider les élèves à mémoriser les faits numériques et à être plus performants en calcul mental?

Maths et APQ

Les différentes formes de calcul

Le calcul mental

Le calcul en ligne

Le calcul posé

Le calcul instrumenté

Le calcul mental

• Le calcul mental se définit comme le calcul qui s’effectue dans la tête.

• Ce calcul numérique ne passe pas par des intermédiaires écrits mais peut faire appel à des supports visuels (bande numérique, tableau de nombres, ...).

• Il peut être oral (l’élève dit le résultat) ou écrit (l’élève écrit alors le résultat et seulement le résultat).

• L’énoncé peut être oral ou écrit (permanent ou temporaire).

• Il n’est pas exclu d’utiliser l’écrit pour la correction et garder une trace.

• S’il se distingue du calcul en ligne, du calcul posé et du calcul instrumenté, il est néanmoins présent dans tous ces moyens de calculer.

• L'ambition de l'enseignement du calcul au CP est de développer une pratique aisée du calcul sous ses différentes formes

• Cette pratique s'appuie sur des faits numériques à mémoriser et des procédures élémentaires à automatiser

• Il convient de donner une place prépondérante au calcul mental et au calcul en ligne dans l'enseignement du calcul

• L'institutionnalisation des apprentissages en calcul mental et en calcul en ligne doit faire l'objet d'une attention particulière

• Il est nécessaire de hierarchiser les procédures des élèves, de débattre et de statuer sur leur portée

• Ces éléments constituent alors une trace écrite claire dans le cahier des élèves

Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Des constats sur la pratique du calcul mental à l'école

Les évaluations

Le temps consacré au calcul mental est massivement inférieur à une heure par semaine.

Peu de structuration des procédures dans les séances de calcul mental stratégique.

Les séances sont plutôt consacrées à la mémorisation des faits numériques.

Les évaluations

Les évaluations nationales

01

Les évaluations internationales TIMSS

02

Evaluation de la DEPP (2019)

03

01:00

Mise en situation

Quelles sont les procédures que vous utilisez pour résoudre le calcul suivant?

45 + 17

Calcul mental (Butlen, Pézard)

• La procédure majoritaire mise en oeuvre par les élèves n'ayant pas reçu d'enseignement est l'utilisation de l'algorithme posé dans la tête.

• Ce sont des procédures sûres pour les élèves mais qui sont également très coûteuses.

• Les autres procédures sont rarement utilisées. Elles nécessitent un enseignement.

Le paradoxe de l'automatisme (Butlen, Pézard, 2007)

Un défaut de performance dû à un manque de procédures de calculs automatisés

Un défaut d'adaptation dû à l'installation de procédures automatisées inefficaces

Comment agir?

Le calcul mental stratégique (Utilisation des procédures)

Les faits numériques

L'apprentissage des tables d'addition

La table de Pythagore

L'apprentissage des tables d'addition

La table de Pythagore

Les 7 familles

• Le traitement par famille permet de construire une progressivité des apprentissages

• La table de Pythagore exprime la commutativité de l'addition et permet de réduire le nombre de faits numériques à mémoriser

• L'apprentissage de chaque famille s'appuie d'abord sur l'utilisation et la manipulation de supports adaptés (cubes, frises numériques, cartes à points...) qui permettent de construire grâce à la verbalisation des images mentales

Vivons l'éxpérience de la table de Pythagore

Complétons la table de Pythagore

• Famille 2

• Famille 3

02:00

Les faits numériques

Définition :

Les faits numériques sont des résultats de calculs mémorisés immediatement disponibles pour l'élève. Les mémoriser permet de libérer la mémoire de travail. L'objectif pour l'élève est de pouvoir restituer le résultat sans passer par une phase de reconstruction et ainsi de rendre ses procédures plus économiques. (Fischer 1987, Boule 1997).

Les faits numériques

Les attendus en fin de CP

Les attendus en fin de CE2

Les attendus en fin de CE1

L'apprentissage des faits numériques

Focus sur les tables de multiplication

• Proposer des exercices sous forme de "drill" 3 minutes par jour pendant 8 semaines permet une augmentation nette des performances (Knowles, 2010)

• Plus on répète et plus (mieux) on automatise

• A chaque répétition, l'association se fait entre opérandes (ex: 9 x 4) et résultat (36)

• On s'exerce jusqu’à ce que l’association soit si forte que 36 s’active instantanément à la présentation de 9 x 4

• Le fait multiplicatif (9 x 4 = 36) est donc stocké en mémoire à long terme et récupéré automatiquement

L'apprentissage des faits numériques

Focus sur les tables de multiplication

• Faire produire les résultats des multiplications de manière répétée (drill) et espacée

• Faire travailler davantage les multiplications échouées (baisse des interférences, contrer les associations avec des mauvaises réponses)

• La boîte à flashcard peut être utilisée pour travailler tous les faits numériques

L'apprentissage des faits numériques

05:00

Focus sur les tables de multiplication

Multimalin : Un outil pour mémoriser les tables de multiplication?

Mathador : Un outil pour mémoriser les tables de multiplication?

Complétons la table de Pythagore

• Famille 4

• Famille 6

02:00

Les procédures

Complétons la table de Pythagore

• Famille 1

02:00

Définition :

Les procédures sont des traitements de calculs qui s'appuient sur des faits numériques mémorisés et qui mettent en jeu certaines propriétés des nombres ou des opérations. Pour un calcul, il existe plusieurs procédures (décomposition additive de l'un ou des deux termes, décomposition additive avec passage à la dizaine supérieure, décomposition soustractive) mais elles ne sont pas forcément toutes efficaces.

Le calcul mental stratégique

Les attendus en fin de CP

Les propriétés des opérations

Les attendus en fin de CE2

Les attendus en fin de CE1

Mise en situation

Quelles sont les procédures que vous utilisez pour résoudre le calcul suivant?

12 x 25

Les procédures

Le calcul mental stratégique

Les procédures sont des traitements de calculs qui s'appuient Les objectifs pour l'enseignant sont divers :

• Développer chez l'élève un répertoire de stratégies efficaces et variées

• S'assurer que l'élève est capable d'utiliser la procédure

• Mettre en évidence les stratégies les plus efficaces

Calcul mental : hiérarchiser les procédures

Exemple de séquence en CE1 Les compléments à 100

Le calcul mental stratégique

Objectif : Trouver le complément à 100 d'un nombre de deux chiffres Progression/ Progressivité : Semaines 1 et 2 :-automatisation du passage par la dizaine supérieure dans l’addition : 84 + ? =100 Semaines 3 et 4 :-automatisation de la décomposition dans la soustraction : 100 –18 =? Semaines 5 et 6 :-brassage des deux procédures

Séance découverte (45 min)

Le calcul mental stratégique

• Rappels : décompositions de 10

• Echauffement : 45 -> 50 ; 62 -> 70

• Problème de référence : "J’achète un pantalon à 84 € avec un billet de 100 € Combien va me rendre le vendeur?"

• Mise en commun

• Institutionnalisation

• Ré-explicitation à l’oral de la procédure la plus efficace

• Modélisations : droite numérique

• Ecriture symbolique : 84 + 6 + 10 = 100

• Entraînements

• Synthèse-bilan : reformulation de la procédure avec un dernier/autre exemple

La trace écrite

Le calcul mental stratégique

L'apprentissage des tables d'addition

• La résolution des petits problèmes additifs semble se faire par comptage automatisé de 1 en 1 sur une ligne numérique mentale (20 ms à 40 ms par pas chez l’expert)

• Les enfants en difficulté pourraient peiner à automatiser ces procédures

L'apprentissage des tables d'addition

Pour les aider, il faudrait :

• Travailler les procédures de comptage
• Apprentissage par coeur
• Travailler les décompositions

Des jeux pour s'entraîner

Complétons la table de Pythagore

• Famille 5

• Famille 7

02:00

Quelques difficultés fréquentes autour du calcul

5 + 4 = 8

De manière générale, face à la difficulté d'un élève, trois pistes peuvent être mobilisées par le professeur : -> Faire verbaliser les actions des élèves -> Varier les outils de modélisation -> Mobiliser le jeu

Quelles pratiques en calcul mental?

BO du 12 janvier 2023

Complétons la table de Pythagore

87

Des ressources numériques

Diapochrono

Des propositions de programmations

• Programmation CP

• Programmation CE1

• Programmation CE2

Merci pour votre attention !

Classe de Mme Calle

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Ferro

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Martin

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Zerguit

Objectif

Evolutions possibles

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Les 30' d'activité physique quotidienne

Les 30 APQ ?30 minutes par jour pour se dépenser afin de se remobiliser !Quand l’EPS n’est pas programmée sur la journée !

Les 30 APQ, POURQUOI ?• Lutter contre la sédentarité et ses risques associés.• Développer les capacités motrices et les aptitudes physiques des enfants.• Evacuer les tensions.• Etre plus disponible pour les apprentissages.• Privilégier la concentration et l’attention.• Rendre le climat scolaire plus serein.

Enseigner explicitement et intensivement le calcul aux élèves revient en fait à leur offrir à la fois des outils pour la résolution de problèmes et la suite de leurs études et le plaisir de jouer avec les nombres. Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Faits numériques

• Les doubles de nombres d'usage courant (nombres de 1 à 20, 25, 30, 40, 50, 60 et 100)
• Les moitiés de nombres pairs d'usage courant (nombres pairs de 1 à 40, 50, 60 et 100)

• Les tables d'addition
• Les tables de multiplication de 2 à 9.

Procédures

• Consolider les procédures apprises au CP
• Complément à la dizaine ou centaine supérieure
• Calculer mentalement des produits

• Mobiliser les propriétés multiplicatives : Commutativité « 3 x 5, c’est pareil que 5 x 3 », Associativité « 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10 »

Distributivité « 12 x 5 = 10 x 5 + 2 x 5 ».

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

Enseigner explicitement et intensivement le calcul aux élèves revient en fait à leur offrir à la fois des outils pour la résolution de problèmes et la suite de leurs études et le plaisir de jouer avec les nombres. Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Faits numériques

• Compléments à la dizaine et à la centaine supérieure
• Doubles et moitiés des nombres inférieurs à 10 et des dizaines entières inférieures à 100

• Apprentissage et mémorisation des tables de 2, 3, 4, 5 et 10

• Travaille d’autres compétences tel que le calcul réfléchi (qui cependant peut lui même faire travailler les automatismes)

• N’est pas assez focalisé sur la multiplication

• Dans la version numérique, les enfants peuvent lire le résultat des multiplications

Les fonctions mnésiques sont essentielles dans l'automatisation des faits numériques. Les résultats peuvent être mal ou non mémorisés. Il faut reconstruire. Certains élèves n'ont que les doigts comme stratégie de calcul (mémoire externe, abstraction, décompositions). C'est un outil nécessaire au début de la scolarité. Il faudra s'en détacher au profit de stratégies plus efficaces. Pistes de remédiation : - Varier les outils de modélisation ( cubes, constellations, cartes à points...) qui permettent la construction d'images mentales. - Mobiliser le jeu pour permettre la mémorisation des faits numériques.

Extrait du guide CP

• La commutativité : 5+23=23+5, qui pourra être verbalisée aux élèves de la manière suivante : "Dans une addition, on peut change l'ordre des nombres";

• L'associativité : 23+(7+2)=(23+7)+2, qui pourra, par exemple être verbalisée par : "Dans une addition, on peut associer les nombres de différentes manières";

• L'utilisation simultanée des deux propriétés de commutativité et associativité : 43+27=40+20+(3+7);

• La distributivité de la multiplication sur l'addition, propriété plus complexe, sera illustrée par du matériel et explicitée de la manière suivante : "Le double de 21 c'est le double de 20 plus le double de 1".

• Jeu du lucky Luke (décompositions additives)
• Le bon débarras (compléments à 10)
• Le jeu du saladier (décompositions additives, compléments)

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

Evaluations nationales 2023

• CM1 : Mémoriser des faits numériques 21 %
• CM1 : Mémoriser des procédures 28 %

• CE1 : Calculer mentalement 73,55 %

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

Quelles sont les différentes formes de calcul rencontrées à l'école?

Préconisation du CNESCO : Mettre en place un grand plan de formation en calcul mental

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Pourquoi la maitrise des faits arithmétiques est importante dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Parce qu’une bonne maîtrise des faits arithmétique permet aux élèves d’ automatiser le résultat des opérations les plus simples, diminuant ainsi la charge en mémoire de travail associée à d’autres tâches, comme le calcul mental stratégique ou la résolution de problèmes

• En ce sens, la maîtrise des faits arithmétique va grandement faciliter le calcul mental stratégique

• Les réponses aux multiplications doivent être reconstruites à partir de scénarios longs et complexes

• Les scénarios vont interférer les uns avec les autres

• L’automaticité de production de la réponse ne pourra jamais être atteinte

Pourquoi la maitrise des faits arithmétiques est importante dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Parce qu’une bonne maîtrise des faits arithmétique permet aux élèves d’ automatiser le résultat des opérations les plus simples, diminuant ainsi la charge en mémoire de travail associée à d’autres tâches, comme le calcul mental stratégique ou la résolution de problèmes

• En ce sens, la maîtrise des faits arithmétique va grandement faciliter le calcul mental stratégique

Procédures

• Les compléments à 100 et à 1 000
• Les compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure et au millier supérieur
• Calculer mentalement des sommes, des différences et des produits.
• Utilisation des procédures et des propriétés ( 5 x 18 = 5 x 20 - 5 x 2)
• Multiplier un nombre par 10 ou par 100
• Obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne par un nombre à 1 chiffre et par des nombres comme 10, 25, 50, 100
• Estimation un ordre de grandeur pour vérifier la vraisemblance d'un résultat

Principe général : Chacune des multiplications est inscrite sur une carte et lorsqu’elle est présentée à l’enfant, il doit donner la réponse (éventuellement dans un temps imparti). Toute multiplication échouée est placée dans la boite 1, toute multiplication réussie avance d’une boîte. L’enfant est ensuite interrogé plus souvent sur les cartes de la boite 1 que sur celles de la boite 2 et encore plus souvent que sur celles de la boite 3.

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

• Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour la résolution de problèmes.

• Connaitre une grande variété́ de procédures pour développer les capacités d’initiative lors de la résolution de problèmes

• Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour remplacer des données par des nombres plus « familiers »

• Le calcul en ligne est un calcul écrit ou partiellement écrit.

• Il comporte des étapes de calcul.

• Il dépend des nombres en jeu

• Le calcul posé est une modalité de calcul écrit consistant en l’application d’un algorithme

• Il ne dépend pas des nombres en jeu

Un exemple au CP

• 7 + 43

• Mobilisation d'un fait numérique : 7 + 3 = 10 (complement à 10)

• Procédure (décomposition additive) : 7 + 40 + 3

• Commutativité de l'opération : 7 + 40 + 3 = 7 + 3 + 40 = 10 + 40 = 50

Le calcul instrumenté est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur).

Procédures

• Calculer mentalement des sommes et des différences
• Mettre le plus grand nombre en premier
• Changer l’ordre des termes d’une somme
• Décomposer additivement un des termes pour calculer plus facilement
• Associer différemment les termes d’une somme

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

Faits numériques

• Compléments à 10
• Décompositions additives jusqu'à 10
• Doubles inférieurs à 10
• Moitiés inférieures à 20
• Tables d'addition