Uda sui logaritmi
Sara Dell'Artino 4H
Oggi siamo qui per seguire la storia millenaria di un numero che affascina studiosi, in particolare matematici, e che si presenta più spesso del previsto nelle nostre vite: il numero aureo
Esso è stato studiato da moltissime personalità importanti della storia, che scopriremo nel corso della presentazione.
Per introdurre l'argomento però vorrei partire dalle spirali logaritmiche; un altro esempio di matematica nella realtà, strettamente collegato al soggetto della ricerca.
Nelle slide si trovano approfondimenti, spiegazioni e curiosità! Si può interagire con tutto ciò che si muove. inoltre, cliccando l'icona in alto a destra, potete vedere gli elementi che portano a percorsi secondari.
Per iniziare fissiamo alcuni concetti...
i divini logaritmi
- b è la base del logaritmo
- x è l'argomento
- n è il risultato
i logaritmi
il logaritmo è l'operatore matematico inverso all'esponenziale
trovare il logaritmo di un numero significa trovare l'esponente al quale devo elevare la base del logaritmo per trovarmi l'argomento
una funzione logaritmica è una funzione che contiene la variabile indipendente all'argomento di un logaritmo
la curva che descrive un logaritmo è l'inversa di quella del corispettivo esponenziale
sono simmetriche rispetto alla bisettrice del quadrante
Il dominio contiene tutti i valori di x per cui l'argomento del logaritmo è maggiore di zero.
2 casi:Il grafico è strettamente crescenteIl grafico è strettamente decrescente
le spirali logaritmiche
r = a ekθ
Punto che si muove di M.U.A lungo una semiretta che ruota intorno al proprio origine
se a=0 la spirale degenera in una retta
polo della spirale
è detta logaritmica perchè la relazione fra l'angolo e il raggio è di tipo logaritmico
equazione polare
le coordinate dei punti appartenenti alla spirale sono dette polari: variano in base all'angolo formato dal vettore che congiunge il polo e il punto rispetto all'asse x.
le coordinate relative agli assi cartesiani si trovano tramite le equazioni parametriche:
l'angolo è espresso in radianti
cartesio
Torricelli
1645
de infinitis spiralibus
spirale equiangola
1638
Bernoulli
spira mirabilis
il raggio vettore che parte dal polo e intercetta la spirale in un suo qualsiasi punto, forma angoli uguali con la retta tangente in quel punto
autosomiglianza
rapporto fra i raggi costante
la spirale è infinita e il polo è un punto asintotico
avvicinandosi o allontanandosi dal polo si trovano spirali identiche in diversa scala
in natura
La spirale logaritmica ritorna spesso in moltissimi contesti
la spirale aurea
il rapporto fra i raggi è pari a φ
r = a φ2θ/π
cos'è φ?
- "sezione aurea"
- rapporto aureo
- numero aureo
- divina proporzione
ispirazione divina dell'ordine
ricompare in matematica e in natura ed ha particolari proprietà
numero irrazionale
fanatismo degli studiosi
1,6180339887....
la storia
studio delle figure piane e della geometria solida ha portato alla scoperta del phi
greci
Euclide
Dimostazione
"gli elementi"
rapporto estremo e medio
350 a.c.
approfondimenti da parte di matematici dell'antichità
al-Khwārizmī
abu kamil shuja
Arabia
decadimento della matematica e geometria in occidente
abu 'l-wafa
la casa della sapienza
perchè
1,6180339887
particolarità
φ2=1+ φ=2,618...
1/φ=1-φ=0,618...
φ=√(1+√(1+√1+⋯
φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+⋯)))
hanno tutti le stesse cifre decimali
viene il negativo di phi
Il corpo umano
Moltissime parti del nostro corpo si trovano in rapporti aurei fra di loro.
Il rapporto fra la lunghezza del nostro arto superiore e dell'avambraccio è 1,618
Le falangi del dito medio e anulare seguono la proporzione aurea
Il volto è strutturato su una serie di rapporti fra le parti che risultano tutte pari al numero aureo
Il rapporto fra la gamba e la sua parte inferiore è pari a phi
Il rapporto fra l'altezza dell'ombelico da terra e la nostra altezza reale è aureo
la storia: Fibonacci
- introduce sistema a nove cifre
- semplifica i calcoli
- espone problemi pratici
nasce a Pisa da una famiglia di commercianti
erano ancora usati gli abbaci e i numeri romani
Liber Abbaci
Leonardo Pisano
Guglielmo Bonacci
1202
viaggiò in oriente
corte Federico II di Svevia
rivoluzionario della matematica occidentale
studiò cifre indo-arabe
la sequenza di Fibonacci
successione di fibonacci
problema dei conigli
ogni numero è la somma dei due precedenti
successione ricorsiva
Spirale di Fibonacci
stretto legame con numero aureo
procedendo con la sequenza, il rapporto fra i numeri tenderà sempre di piú a phi
I raggi sono numeri della sequenza
spirale approssimabile a quella aurea
Costruzione
la storia: il rinascimento
Piero della Francesca
Luca Pacioli
Leonardo da vinci
1509
De divina proportione
- Compendio De divina proportione
- De divina proportione
- De divina
Illustrato da
Arte
la sezione aurea viene usata dagli artisti poiché si pensi ponga un senso di ordine nella composizione
Musica
Rinnovato interesse per
Poesia
la natura
in modo da ottenere la maggior quantità di luce e acqua
La fillotassi
Angolo di divergenza= angolo aureo
Studio della disposizione delle foglie, dei fiori... sul fusto delle piante
Quozienti di fillotassi = rapporti fra numeri della sequenza di Fibonacci
Spirale vegetativa
- Semi del girasole
- Broccoli
- Pigne
- Ananas
- Margherite
Spirali della stessa direzione che si presentano tante volte quante un numero della successione di Fibonacci
perchè
il rapporto fra la diagonale e il lato del pentagono
Ritorna alla pagina 8
sitografia
https://liceoberchet.edu.it/ricerche/sezioneaurea/sez6.htm
https://allyouneedislog.wordpress.com/category/la-spirale-logaritmica/
http://www.fibonacci.it/corpoumano.html
https://www.storicang.it/a/il-numero-aureo-natura-e-arte_16103
https://dilucia.wordpress.com/tag/spirale-logaritmica/
http://www.parcopitagora.it/ParcoPitagora/exhibits/spirale-logaritmica.html
https://www.treccani.it/enciclopedia/leonardo-fibonacci/
https://s.deascuola.it/animali_costruttori/TOPI_LOGARTIMICA.htm
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2020/05/19/equazioni-della-spirale-logaritmica/
https://numeramente.it/BIOLOGIA.htm
https://www.mat.uniroma1.it/sites/default/files/GREGORIODACATINO-SezioneAurea-presentazione.pdf
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abu_Kamil/
https://fisicisenzapalestra.com/la-successione-di-fibonacci-e-la-spirale-aurea-quando-luniverso-diventa-armonia.html
https://it.mathigon.org/timeline
https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjcnqaf9ZaCAxW2QPEDHU-SAKkQFnoECEQQAQ&url=https%3A%2F%2Fwww.math.it%2Fspirali%2Ffibonacci.htm&usg=AOvVaw2uC0e8OGqxBQGyVsQqyJsk&opi=89978449
https://www.cni.it/images/il_giornale_dell_ingegnere/2022/Gli_Sepciali_de_Il_Giornale_dellIngegnere_La_sezione_aurea_e_la_serie_di_Fibonacci.pdf
Inoltre ho letto anche
Grazie dell' attenzione!
voglio scoprire quanto vale:
pongo x uguale alla mia espressione:
elevo alla seconda da entrambi i lati:
inserisco x in questa nuova equazione:
mi ritrovo nella stessa equazione del rapporto aureo, da cui quindi otterrò il numero phi, che sarà quindi il valore dell'espressione infinita iniziale
L'angolo che si forma fra la retta uscente dalla foglia e il fusto è detto angolo di divergenza.
Esso risulta essere pari all' angolo aureo.
L'angolo minore che si crea dalla divisione secondo proporzione aurea di un angolo giro
360/ = 222,5
360- 222-5 = 137,5
Compendio de divina proportione
Descrizione delle proprietà rapporto aureo
Legami con religione
- Divisone di un segmento in tre parti come la trinità
- Ha un valore invariabile, come Dio
- È un numero irrazionale, incomprensibile all' intelletto umano, come Dio
- Elenco di 13 effetti della divina proporzione, come i 13 commensali dell' ultima cena
De divina proporzione
applicazione nell' architettura e nell' anatomia
si é preso il merito del lavoro
De divina
Traduzione in volgare del trattato di Piero della Francesca sui poliedri
libro più letto nella storia, superato solo dalla bibbia
13 volumi:
- I-VI libri: geometria piana
- VII-X libri: teoria dei numeri e aritmetica
- XI libro: geometria solida
- XII libro: area cerchio
- XII libro: solidi platonici
Costruisco una serie di quadrati con lati pari ai numeri della sequenza di Fibonacci
si creano una serie di rettangoli aurei
tracciando quarti di circonferenza si arriva alla spirale
Le diagonali si intersecano nel polo della spirale
voglio trovare il valore di questa frazione continua:
la rendo uguale ad x:
essendo infinita posso sostituire x al denominatore, tanto il risultato finale sarà lo stesso:
moltiplico per x:
risulta un' equazione uguale a quella della proprozione, che mi farà quindi risultare x pari a phi.
Molti studiosi hanno manipolato i dati delle ricerche in modo da provare la loro idea: la presenza del numero aureo nell'oggetto o fenomeno considerato.
piramide di cheope
Luoghi in cui si credeva fosse usato phi:
Uno dei maggiori esempi è la teoria della conoscenza e dell'uso del phi da parte delle civiltà antiche, conosciuta e diffusa, ma che non ha prove per dimostrare la sua reale veridicità.
bassorilievi assiri e babilonesi
r è il raggio vettore
θ è l'angolo di rotazione
k è il coefficente di espansione
e è il numero di nepero
a è la costante della spirale
UDA
Sara Dell'artino
Created on October 30, 2023
presentazione dai logaritmi alla sezione aurea
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Uda sui logaritmi
Sara Dell'Artino 4H
Oggi siamo qui per seguire la storia millenaria di un numero che affascina studiosi, in particolare matematici, e che si presenta più spesso del previsto nelle nostre vite: il numero aureo
Esso è stato studiato da moltissime personalità importanti della storia, che scopriremo nel corso della presentazione.
Per introdurre l'argomento però vorrei partire dalle spirali logaritmiche; un altro esempio di matematica nella realtà, strettamente collegato al soggetto della ricerca.
Nelle slide si trovano approfondimenti, spiegazioni e curiosità! Si può interagire con tutto ciò che si muove. inoltre, cliccando l'icona in alto a destra, potete vedere gli elementi che portano a percorsi secondari.
Per iniziare fissiamo alcuni concetti...
i divini logaritmi
i logaritmi
il logaritmo è l'operatore matematico inverso all'esponenziale
trovare il logaritmo di un numero significa trovare l'esponente al quale devo elevare la base del logaritmo per trovarmi l'argomento
una funzione logaritmica è una funzione che contiene la variabile indipendente all'argomento di un logaritmo
la curva che descrive un logaritmo è l'inversa di quella del corispettivo esponenziale
sono simmetriche rispetto alla bisettrice del quadrante
Il dominio contiene tutti i valori di x per cui l'argomento del logaritmo è maggiore di zero.
2 casi:
- Base>1
Il grafico è strettamente crescente- Base<1
Il grafico è strettamente decrescentele spirali logaritmiche
r = a ekθ
Punto che si muove di M.U.A lungo una semiretta che ruota intorno al proprio origine
se a=0 la spirale degenera in una retta
polo della spirale
è detta logaritmica perchè la relazione fra l'angolo e il raggio è di tipo logaritmico
equazione polare
le coordinate dei punti appartenenti alla spirale sono dette polari: variano in base all'angolo formato dal vettore che congiunge il polo e il punto rispetto all'asse x.
le coordinate relative agli assi cartesiani si trovano tramite le equazioni parametriche:
l'angolo è espresso in radianti
cartesio
Torricelli
1645
de infinitis spiralibus
spirale equiangola
1638
Bernoulli
spira mirabilis
il raggio vettore che parte dal polo e intercetta la spirale in un suo qualsiasi punto, forma angoli uguali con la retta tangente in quel punto
autosomiglianza
rapporto fra i raggi costante
la spirale è infinita e il polo è un punto asintotico
avvicinandosi o allontanandosi dal polo si trovano spirali identiche in diversa scala
in natura
La spirale logaritmica ritorna spesso in moltissimi contesti
la spirale aurea
il rapporto fra i raggi è pari a φ
r = a φ2θ/π
cos'è φ?
ispirazione divina dell'ordine
ricompare in matematica e in natura ed ha particolari proprietà
numero irrazionale
fanatismo degli studiosi
1,6180339887....
la storia
studio delle figure piane e della geometria solida ha portato alla scoperta del phi
greci
Euclide
Dimostazione
"gli elementi"
rapporto estremo e medio
350 a.c.
approfondimenti da parte di matematici dell'antichità
al-Khwārizmī
abu kamil shuja
Arabia
decadimento della matematica e geometria in occidente
abu 'l-wafa
la casa della sapienza
perchè
1,6180339887
particolarità
φ2=1+ φ=2,618...
1/φ=1-φ=0,618...
φ=√(1+√(1+√1+⋯
φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+⋯)))
hanno tutti le stesse cifre decimali
viene il negativo di phi
Il corpo umano
Moltissime parti del nostro corpo si trovano in rapporti aurei fra di loro.
Il rapporto fra la lunghezza del nostro arto superiore e dell'avambraccio è 1,618
Le falangi del dito medio e anulare seguono la proporzione aurea
Il volto è strutturato su una serie di rapporti fra le parti che risultano tutte pari al numero aureo
Il rapporto fra la gamba e la sua parte inferiore è pari a phi
Il rapporto fra l'altezza dell'ombelico da terra e la nostra altezza reale è aureo
la storia: Fibonacci
nasce a Pisa da una famiglia di commercianti
erano ancora usati gli abbaci e i numeri romani
Liber Abbaci
Leonardo Pisano
Guglielmo Bonacci
1202
viaggiò in oriente
corte Federico II di Svevia
rivoluzionario della matematica occidentale
studiò cifre indo-arabe
la sequenza di Fibonacci
successione di fibonacci
problema dei conigli
ogni numero è la somma dei due precedenti
successione ricorsiva
Spirale di Fibonacci
stretto legame con numero aureo
procedendo con la sequenza, il rapporto fra i numeri tenderà sempre di piú a phi
I raggi sono numeri della sequenza
spirale approssimabile a quella aurea
Costruzione
la storia: il rinascimento
Piero della Francesca
Luca Pacioli
Leonardo da vinci
1509
De divina proportione
Illustrato da
Arte
la sezione aurea viene usata dagli artisti poiché si pensi ponga un senso di ordine nella composizione
Musica
Rinnovato interesse per
Poesia
la natura
in modo da ottenere la maggior quantità di luce e acqua
La fillotassi
Angolo di divergenza= angolo aureo
Studio della disposizione delle foglie, dei fiori... sul fusto delle piante
Quozienti di fillotassi = rapporti fra numeri della sequenza di Fibonacci
Spirale vegetativa
Spirali della stessa direzione che si presentano tante volte quante un numero della successione di Fibonacci
perchè
il rapporto fra la diagonale e il lato del pentagono
Ritorna alla pagina 8
sitografia
https://liceoberchet.edu.it/ricerche/sezioneaurea/sez6.htm
https://allyouneedislog.wordpress.com/category/la-spirale-logaritmica/
http://www.fibonacci.it/corpoumano.html
https://www.storicang.it/a/il-numero-aureo-natura-e-arte_16103
https://dilucia.wordpress.com/tag/spirale-logaritmica/
http://www.parcopitagora.it/ParcoPitagora/exhibits/spirale-logaritmica.html
https://www.treccani.it/enciclopedia/leonardo-fibonacci/
https://s.deascuola.it/animali_costruttori/TOPI_LOGARTIMICA.htm
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2020/05/19/equazioni-della-spirale-logaritmica/
https://numeramente.it/BIOLOGIA.htm
https://www.mat.uniroma1.it/sites/default/files/GREGORIODACATINO-SezioneAurea-presentazione.pdf
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abu_Kamil/
https://fisicisenzapalestra.com/la-successione-di-fibonacci-e-la-spirale-aurea-quando-luniverso-diventa-armonia.html
https://it.mathigon.org/timeline
https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjcnqaf9ZaCAxW2QPEDHU-SAKkQFnoECEQQAQ&url=https%3A%2F%2Fwww.math.it%2Fspirali%2Ffibonacci.htm&usg=AOvVaw2uC0e8OGqxBQGyVsQqyJsk&opi=89978449
https://www.cni.it/images/il_giornale_dell_ingegnere/2022/Gli_Sepciali_de_Il_Giornale_dellIngegnere_La_sezione_aurea_e_la_serie_di_Fibonacci.pdf
Inoltre ho letto anche
Grazie dell' attenzione!
voglio scoprire quanto vale:
pongo x uguale alla mia espressione:
elevo alla seconda da entrambi i lati:
inserisco x in questa nuova equazione:
mi ritrovo nella stessa equazione del rapporto aureo, da cui quindi otterrò il numero phi, che sarà quindi il valore dell'espressione infinita iniziale
L'angolo che si forma fra la retta uscente dalla foglia e il fusto è detto angolo di divergenza.
Esso risulta essere pari all' angolo aureo.
L'angolo minore che si crea dalla divisione secondo proporzione aurea di un angolo giro
360/ = 222,5
360- 222-5 = 137,5
Compendio de divina proportione
Descrizione delle proprietà rapporto aureo
Legami con religione
De divina proporzione
applicazione nell' architettura e nell' anatomia
si é preso il merito del lavoro
De divina
Traduzione in volgare del trattato di Piero della Francesca sui poliedri
libro più letto nella storia, superato solo dalla bibbia
13 volumi:
Costruisco una serie di quadrati con lati pari ai numeri della sequenza di Fibonacci
si creano una serie di rettangoli aurei
tracciando quarti di circonferenza si arriva alla spirale
Le diagonali si intersecano nel polo della spirale
voglio trovare il valore di questa frazione continua:
la rendo uguale ad x:
essendo infinita posso sostituire x al denominatore, tanto il risultato finale sarà lo stesso:
moltiplico per x:
risulta un' equazione uguale a quella della proprozione, che mi farà quindi risultare x pari a phi.
Molti studiosi hanno manipolato i dati delle ricerche in modo da provare la loro idea: la presenza del numero aureo nell'oggetto o fenomeno considerato.
piramide di cheope
Luoghi in cui si credeva fosse usato phi:
Uno dei maggiori esempi è la teoria della conoscenza e dell'uso del phi da parte delle civiltà antiche, conosciuta e diffusa, ma che non ha prove per dimostrare la sua reale veridicità.
bassorilievi assiri e babilonesi
r è il raggio vettore
θ è l'angolo di rotazione
k è il coefficente di espansione
e è il numero di nepero
a è la costante della spirale