Una serie de potencias en se puede ver como una función de
donde el dominio de es el conjunto de todas las para los que la serie de potencias converge.
Cada serie de potencias converge en el centro c porque
Por lo tanto, c radica siempre en el dominio de
El teorema 4.5.1 establece que el dominio de una serie de potencias puede tomar tres formas básicas: un solo punto, un intervalo centrado en c o toda la recta de los números reales, como se muestra en la figura 5.5.1
Teorema 4.5.1 Convergencia de una serie de potencias
Para una serie de potencias centrada en c, precisamente una de las siguientes situaciones es verdadera.
1. La serie converge en c.
2. Existe un número real tal que la serie converge absolutamente
y diverge para
La serie converge absolutamente para todo x
El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie converge solo en c, entonces el radio de convergencia es R=0. Si la serie converge para todo x, entonces el radio de convergencia es
R=∞ El conjunto de todos los valores de x para los que la serie de potencias converge es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias en x- a
1.Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente para todos los valores de x .
Encontrar el radio de convergencia, de los ejercicios siguientes:
Ejemplo 1. Encuentre le radio de convergencia de
Solución: para x=0, obtiene
Para cualquier valor fijo de x tal que sea
Entonces
Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie diverge para |x|>0 y converge solo en el centro, 0. Así, el radio de convergencia es R=0.
Ejemplo 2. Encuentre el radio de convergencia de
Solución: Para x≠2, sea
Por el criterio de la razón, la serie converge para |x-2|<1 y diverge para |x-2|>1.
Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie es R=1.
Ejemplo 3 Encuentre el radio de convergencia de
Solución:
Entonces
Para cualquier valor fijo de x, este límite es 0. Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie converge para todo valor de x. Así que el radio de convergencia es R=∞ .
Ejemplo 4 Determine el intervalo de convergencia de la serie
Solución: La serie de potencias dada es
Al aplicar el criterio de la razón tenemos
Al evaluar el límite nos queda una forma indeterminada
Para resolverlo debemos de multiplicar cada término por
La serie dad será absolutamente convergente si
Resolviendo la desiguadad tenemos
El intervalo será
Ejemplo 5 Determine el intervalo de convergencia de la serie
Solución: La serie de potencias dada es
Si se aplica el criterio de la razón tenemos
Al evaluar el límite este tiene forma indeterminada
Para resolverlo vamos a multiplicar por cada término
De esta manera, la serie dada será absolutamente convergente si
Bibliografía
Larson Ron, B. E. (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral 10th Edition. Cd. México: CENGAGE.
Leithold Louis, (2014) . El Cálculo 7th Edition.Cd.México;Orford University Press
No olvides que puedes recurrir al correo del docente o al chat para aclarar cualquier duda.
subtema 4.5 Radio de convergencia
María Gricelda Paman
Created on October 27, 2023
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Transcript
Cálculo Integral ACF-0902
Bienvenida
subtema 4.5 radio de convergencia
Radio e intervalo de convergencia
Una serie de potencias en se puede ver como una función de
donde el dominio de es el conjunto de todas las para los que la serie de potencias converge.
Cada serie de potencias converge en el centro c porque
Por lo tanto, c radica siempre en el dominio de
El teorema 4.5.1 establece que el dominio de una serie de potencias puede tomar tres formas básicas: un solo punto, un intervalo centrado en c o toda la recta de los números reales, como se muestra en la figura 5.5.1
Teorema 4.5.1 Convergencia de una serie de potencias
Para una serie de potencias centrada en c, precisamente una de las siguientes situaciones es verdadera.
1. La serie converge en c.
2. Existe un número real tal que la serie converge absolutamente
y diverge para
La serie converge absolutamente para todo x El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie converge solo en c, entonces el radio de convergencia es R=0. Si la serie converge para todo x, entonces el radio de convergencia es R=∞ El conjunto de todos los valores de x para los que la serie de potencias converge es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias en x- a
1.Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente para todos los valores de x .
Encontrar el radio de convergencia, de los ejercicios siguientes:
Ejemplo 1. Encuentre le radio de convergencia de
Solución: para x=0, obtiene
Para cualquier valor fijo de x tal que sea
Entonces
Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie diverge para |x|>0 y converge solo en el centro, 0. Así, el radio de convergencia es R=0.
Ejemplo 2. Encuentre el radio de convergencia de
Solución: Para x≠2, sea
Por el criterio de la razón, la serie converge para |x-2|<1 y diverge para |x-2|>1. Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie es R=1.
Ejemplo 3 Encuentre el radio de convergencia de
Solución:
Entonces
Para cualquier valor fijo de x, este límite es 0. Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie converge para todo valor de x. Así que el radio de convergencia es R=∞ .
Ejemplo 4 Determine el intervalo de convergencia de la serie
Solución: La serie de potencias dada es
Al aplicar el criterio de la razón tenemos
Al evaluar el límite nos queda una forma indeterminada
Para resolverlo debemos de multiplicar cada término por
La serie dad será absolutamente convergente si
Resolviendo la desiguadad tenemos
El intervalo será
Ejemplo 5 Determine el intervalo de convergencia de la serie
Solución: La serie de potencias dada es
Si se aplica el criterio de la razón tenemos
Al evaluar el límite este tiene forma indeterminada
Para resolverlo vamos a multiplicar por cada término
De esta manera, la serie dada será absolutamente convergente si
Bibliografía
Larson Ron, B. E. (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral 10th Edition. Cd. México: CENGAGE.
Leithold Louis, (2014) . El Cálculo 7th Edition.Cd.México;Orford University Press
No olvides que puedes recurrir al correo del docente o al chat para aclarar cualquier duda.
Espero que hayas disfrutado el subtema 4.5
Te deseo éxito en tu evaluación!
Por tu atención, ¡muchas gracias!