Aproximaciones polinómicas de funciones elementales
Para encontrar una función polinómica P que se aproxima a otra función f comience por elegir un número c en el dominio de f en el que f y P tienen el mismo valor. Es decir,
Se dice que el polinomio de aproximación está desarrollado alrededor de Geométricamente, el requisito de que significa que la gráfica pasa por el punto
Su tarea es encontrar un polinomio cuya gráfica se parezca a la gráfica de f cerca de este punto. Una forma de hacer esto es imponer el requisito adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la pendiente de la gráfica de f
en el punto
Las gráficas de tienen la misma pendiente en Figura 4.4.1
Ejemplo 1 Aproximar con un polinomio de primer grado.
Para la función encuentre una función polinómica de primer grado cuyo valor y pendiente coinciden con el valor y la pendiente de .
Solución: Como el valor y la pendiente de son
Para llegar a la conclusión de que Por lo tanto,
La figura 4.4.2 muestra las gráficas de
En la figura 4.4.3 se puede ver que en los puntos cerca de (0,1) la gráfica de la función polinómica de primer grado
Es razonablemente cerca de la gráfica de a media que se aleja de (0,1), sin embargo, las gráficas se mueven cada vez más lejos una de otra y la precisión de la aproximación disminuye.
Para mejorar la aproximación, se puede imponer otro requisito, que los valores de las segundas derivadas de P y f coincidan cuando x=0. El polinomio, de menor grado que satisface los tres requisitos
El polinomio, de menor grado que satisface los tres requisitos
Entonces
Así mimo la aproximación de grado n-ésimo
4.4 Definición de series de potencias
Si es una variable, entonces una serie infinita de la forma
Se llama serie de potencias. En términos más generales, una serie infinita de la forma
Se llama serie de potencias centradas en c, donde c es una constante
Ejemplo 2 Serie de potencias
a) La siguiente serie de potencias está centrada en 0
b) La siguiente serie de potencias está centrada en -1
c) La siguiente serie de potencias está centrada en 1
Bibliografía
Larson Ron, B. E. (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral 10th Edition. Cd. México: CENGAGE.
No olvides que puedes recurrir al correo del docente o al chat para aclarar cualquier duda.
Subtema 4.4 Serie de Potencias
María Gricelda Paman
Created on October 27, 2023
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Transcript
Cálculo Integral ACF-0902
Bienvenidos
Subtema 4.4 Series de potencias
Aproximaciones polinómicas de funciones elementales
Para encontrar una función polinómica P que se aproxima a otra función f comience por elegir un número c en el dominio de f en el que f y P tienen el mismo valor. Es decir,
Se dice que el polinomio de aproximación está desarrollado alrededor de Geométricamente, el requisito de que significa que la gráfica pasa por el punto
Su tarea es encontrar un polinomio cuya gráfica se parezca a la gráfica de f cerca de este punto. Una forma de hacer esto es imponer el requisito adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la pendiente de la gráfica de f
en el punto
Las gráficas de tienen la misma pendiente en Figura 4.4.1
Ejemplo 1 Aproximar con un polinomio de primer grado.
Para la función encuentre una función polinómica de primer grado cuyo valor y pendiente coinciden con el valor y la pendiente de .
Solución: Como el valor y la pendiente de son
Para llegar a la conclusión de que Por lo tanto,
La figura 4.4.2 muestra las gráficas de
En la figura 4.4.3 se puede ver que en los puntos cerca de (0,1) la gráfica de la función polinómica de primer grado
Es razonablemente cerca de la gráfica de a media que se aleja de (0,1), sin embargo, las gráficas se mueven cada vez más lejos una de otra y la precisión de la aproximación disminuye.
Para mejorar la aproximación, se puede imponer otro requisito, que los valores de las segundas derivadas de P y f coincidan cuando x=0. El polinomio, de menor grado que satisface los tres requisitos
El polinomio, de menor grado que satisface los tres requisitos
Entonces
Así mimo la aproximación de grado n-ésimo
4.4 Definición de series de potencias
Si es una variable, entonces una serie infinita de la forma
Se llama serie de potencias. En términos más generales, una serie infinita de la forma
Se llama serie de potencias centradas en c, donde c es una constante
Ejemplo 2 Serie de potencias
a) La siguiente serie de potencias está centrada en 0
b) La siguiente serie de potencias está centrada en -1
c) La siguiente serie de potencias está centrada en 1
Bibliografía
Larson Ron, B. E. (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral 10th Edition. Cd. México: CENGAGE.
No olvides que puedes recurrir al correo del docente o al chat para aclarar cualquier duda.
Espero que hayas disfrutado el subtema 4.4
Te deseo éxito en tu evaluación!
Por tu atención, ¡muchas gracias!