Subtema 4.1 Definición de sucesión

Cálculo Integral ACF-0902

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Subtema 4.1 Definición de sucesión

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4.1 Definición de sucesión

Quiero decir que una colección de objetos o eventos está en sucesión por lo general significa que la colección está ordenada de tal manera que tiene un primer miembro, segundo miembro, tercer miembro identificado y así sucesivamente.

Una “sucesión” se define como una función cuyo dominio es el conjunto de números enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar sucesiones con notación de subíndice en vez de con notación de

función estándar. Por ejemplo, en la sucesión

Los números

Son los términos de la sucesión. El número es el n-ésimo término de la sucesión, y la sucesión completa se denota por En ocasiones es conveniente comenzar una sucesión con

para que los términos de la sucesión se conviertan en

y el dominio sea el conjunto de los

números enteros no negativos.

Por ejemplo, los números

Se denomina sucesión finita

Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene último número, se dice que la sucesión es infinita, por ejemplo

Ejemplo 1 Listar los términos de una sucesión

son

a) Los términos de la sucesión

b) Los términos de la sucesión son

c) Los términos de la sucesión son

Límite de una sucesión

Tenemos, por ejemplo, la sucesión

converge a como se indica en la siguiente definición

Definición del límite de una sucesión

Sea un número real. El límite de una sucesión es escrito como

Si para cada existe tal que cuando Si existe el límite de una sucesión, la sucesión converge a . Si no existe el límite de una sucesión, entonces la sucesión diverge.

Teorema 4.1 Límite de una sucesión

Ejemplo 2 Encontrar el límite de una sucesión

Encuentre el límite de la sucesión cuyo n-ésimo término es

Solución: Se desea determinar si

existe

Se considera y vamos a determinar

Tenemos que se puede escribir como

Utilizaremos la regla de L´Hopital

Por lo tanto, la sucesión es convergente y

Ejemplo 3 Encontrar el límite de una sucesión

Encuentre el límite de la sucesión cuyo n-ésimo término es

Solución: Considere la función de una variable real

Al calcular el límite primero vamos a evaluar

Aplicando la regla de L´Hopital tenemos

Por lo tanto, la sucesión converge a cero.

Ejemplo 4 Encontrar el límite de una sucesión

Encuentre el límite de la sucesión cuyo n-ésimo término es

Solución: El n-ésimo elemento de la sucesión puede escribirse como

Vamos a calcular el

Multiplicando el numerador y denominador por

En el ejemplo 2 vimos

Por lo tanto

Por lo tanto, la sucesión es convergente y su limites es

Reconocimiento de un patrón de sucesiones

Ejemplo 5 Encontrar el n-ésimo término de una sucesión

Encuentre una sucesión cuyos cinco primeros términos son

Y luego determine si la sucesión que ha elegido es converge o diverge

Solución: Observe que los numeradores son sucesivas potencias de 2, y los denominadores forman una secuencia de enteros positivos impares. Al comparar con n se tiene el siguiente patrón

Considere la función de una variable real

Vamos a evaluar el límite de la función

Aplicaremos la regla de L´Hopital

Por lo tanto, la sucesión diverge ya que el límite de la función no existe.

Ejemplo 6 Encontrar el n-ésimo término de una sucesión

Determine el n-ésimo término de una sucesión cuyos cinco primeros términos son

Luego decida si la sucesión es convergente o divergente

Solución: Observe que los numeradores son 1 menos que

Por lo tanto, se puede pensar que los numeradores está n dado por la regla

Factorizar los denominadores produce

Esto sugiere que los denominadores están representados por

Debido a que los signos se alternan, puede escribir el n-ésimo término como

A partir de la discusión acerca del crecimiento de Se deduce que

Aplicando el teorema 4.3, puede concluirse que

Por lo tanto, la sucesión converge a 0

Bibliografía

Larson Ron, B. E. (2018). Matemáticas II, Cálculo Integral 10th Edition. Cd. Mexico: CENGAGE.

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Espero que hayas disfrutado el subtema 4.1

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