ll non è il massimo
Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo
Le equazioni e le disequazioni con grado maggiore di 2 sono spesso chiamate "equazioni polinominali di grado superiore" o "disequazioni polinominali di grado superiore." Queste equazioni e disequazioni coinvolgono polinomi di grado 3 o superiore. Un esempio di un'equazione di terzo grado potrebbe essere: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 Un esmpio di una disequazione di terzo grado potrebbe essere: ax^3 + bx^2 + cx + d > 0
Le forme più comuni di disequazioni e equazioni di grado superiore al secondo sono: equazioni monomie => x^n = 0equazioni binomie => ax^n + b = 0equazioni trinomie => ax^n+bx^n+c = 0disequazioni binomie => ax^n+b > 0disequazioni biquadratiche => ax^4+bx^2+c≤0disequazioni trinomie => ax^2n−bx^n+c > 0
Disequazioni binomie => ax^n+b > 0
Esempio: x3-8<0 Scomponiamo in fattori ricordando che a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Poi otteniamo (x-2)(x2+2x+4)<0 Poichè il trinomio x2+2x+4, che ha Δ/4= 1-4<0, assume sempre segno positivo, il segno x3-8 dipende solo dal segno del fattore (x-2). La disequazioni è verificata per x<2 Per sintetizzare possiamo scrivere: x3-8<0 → x3<8 → x<2
Disequazioni biquadratiche => ax^4+bx^2+c≤0
Esempio: x4-13x2+36>0 L'equazione associata x4-13x2+36=0 è un'equazione biquadratica, perchè è nella forma ax4+bx2+c=0, con a,b,c≠0. Poniamo x2=z z2-13z+36=0 → z1= 4 z2=9 La disequazione iniziale è riconducibile alla disequazione in x: z2-13z+36>0 Le cui soluzioni sono z<4 V z>9; da ciò, essendo x2=z x4-13x2+36>0 per x2<4 V x2>9 Ossia: -2<x<2 V (x<-3 V x>3)
Disequazioni trinomie => ax^2n−bx^n+c > 0
Esempio: x6-3x3+2>0 L'equazione associata x6-3x3+2=0 è un'equazione trinomia, perchè è nella forma ax2n+bxn+c=0, con a,b,c≠0 e n∈ℕ- {0}. poniamo x3=z z2-3z+2=0 → z1=1, z2=2 La disequazione x6-3x3+2>0 si trasforma in z2-3z+2>0 → z<1 V z>2 da cui: x6-3x3+2>0 per x3<1 V x3>2 Risolvendo le disequazioni binomie, otteniamo: x<1 V x>3√2
equazioni monomie => x^n = 0
Esempio: x3=0 Ora si fa la radice di x e o: 3√x3 = 3√0 Risolvendo le radici, il risultato di x è 0: x=0
equazioni binomie => ax^n + b = 0
Esempio: x3+8=0 Portiamo 8 dall'altro lato dell'uguale: x3=-8 Poi facciamo la radice di entrambi 3√x3= 3√-8 Infine semplifichiamo, e la soluzione è: x=-2
equazioni trinomie => ax^n+bx^n+c = 0
Esempio: x4-13x2+36=0 L'equazione associata x4-13x2+36=0 è un'equazione biquadratica, perchè è nella forma ax4+bx2+c=0, con a,b,c≠0. Poniamo x2=z z2-13z+36=0 → z1= 4 z2=9 Si deve sostituire alla z, x2: x2=4 x2=9 Metto ogni termine sotto radice: √x2= √4 √x2=√9 e queste sono le soluzioni: x=2 x=3
I metodi di risoluzione sono: Fattorizzazione Formula di Cardano Metodo delle radici razionali Metodo della divisione sintetica Approccio numericoGrafico delle funzioni
La fattorizzazione delle equazioni
- Porta tutti i termini da un lato dell'equazione in modo che il lato sia uguale a zero: ad esempio, se hai un equazione come ax3+bx2+cx+d=0, puoi riscriverla come ax3+bx2+cx+d=0.
- Cerca di fattorizzare il polinomio: la fattorizzazione è il modo più semplice per risolvere l'equazione. Bisogna scomporre il polinomio in fattori, usando la scomposizione: ad esempio se abbiamo, x3-8=0 possiamo scomporlo con la differenza tra cubi, quindi viene, (x-2)(x2+2x+4=0).
- Risolvere le equazioni ottenute dai singoli fattori: dopo averlo scomposto, dobbiamo risolvere le equazioni ottenute, mettendo ogni fattore uguale a zero: nell'esempio sopra, x-2=0 e x2+2x+4=0 e risolverle separatamente.
- Determinare le soluzioni dell'equazione originale: le soluzioni dell'equazione, sono le soluzioni di ciascun fattore. In qualche caso si possono ottenere delle soluzioni multiple.
La fattorizzazione delle disequazioni
- Porta tutti i termini da un lato dell'equazione in modo che il lato sia uguale a zero.
- Cerca di fattorizzare il polinomio.
- Risolvere le equazioni ottenute dai singoli fattori: dopo averlo scomposto, dobbiamo risolvere le equazioni ottenute, mettendo ogni fattore uguale a zero.
- Determinare gli intervalli in cui ciascun fattore è positivo o negativo: utilizzando la regola dei segni, determinando in quali intervalli il fattore è positivo o negativo.
- Determina gli intervalli che soddisfano la disequazione originale: le soluzioni della disequazione corrispondono agli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta
Sitografia
https://www.zanichelli.it/ https://chat.openai.com/ https://www.youmath.it/ https://www.math.it/ https://www.mathone.it/
Fatta da:
Covaci Vlad Remus
Dima Alessia
Kullafi Sergei
Iliev Borjan
Guarena Vittoria
Maglione Giorgia
Stella Giulia
Viberti Benedetta
matematica
Giulia
Created on October 26, 2023
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ll non è il massimo
Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo
Le equazioni e le disequazioni con grado maggiore di 2 sono spesso chiamate "equazioni polinominali di grado superiore" o "disequazioni polinominali di grado superiore." Queste equazioni e disequazioni coinvolgono polinomi di grado 3 o superiore. Un esempio di un'equazione di terzo grado potrebbe essere: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 Un esmpio di una disequazione di terzo grado potrebbe essere: ax^3 + bx^2 + cx + d > 0
Le forme più comuni di disequazioni e equazioni di grado superiore al secondo sono: equazioni monomie => x^n = 0equazioni binomie => ax^n + b = 0equazioni trinomie => ax^n+bx^n+c = 0disequazioni binomie => ax^n+b > 0disequazioni biquadratiche => ax^4+bx^2+c≤0disequazioni trinomie => ax^2n−bx^n+c > 0
Disequazioni binomie => ax^n+b > 0
Esempio: x3-8<0 Scomponiamo in fattori ricordando che a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Poi otteniamo (x-2)(x2+2x+4)<0 Poichè il trinomio x2+2x+4, che ha Δ/4= 1-4<0, assume sempre segno positivo, il segno x3-8 dipende solo dal segno del fattore (x-2). La disequazioni è verificata per x<2 Per sintetizzare possiamo scrivere: x3-8<0 → x3<8 → x<2
Disequazioni biquadratiche => ax^4+bx^2+c≤0
Esempio: x4-13x2+36>0 L'equazione associata x4-13x2+36=0 è un'equazione biquadratica, perchè è nella forma ax4+bx2+c=0, con a,b,c≠0. Poniamo x2=z z2-13z+36=0 → z1= 4 z2=9 La disequazione iniziale è riconducibile alla disequazione in x: z2-13z+36>0 Le cui soluzioni sono z<4 V z>9; da ciò, essendo x2=z x4-13x2+36>0 per x2<4 V x2>9 Ossia: -2<x<2 V (x<-3 V x>3)
Disequazioni trinomie => ax^2n−bx^n+c > 0
Esempio: x6-3x3+2>0 L'equazione associata x6-3x3+2=0 è un'equazione trinomia, perchè è nella forma ax2n+bxn+c=0, con a,b,c≠0 e n∈ℕ- {0}. poniamo x3=z z2-3z+2=0 → z1=1, z2=2 La disequazione x6-3x3+2>0 si trasforma in z2-3z+2>0 → z<1 V z>2 da cui: x6-3x3+2>0 per x3<1 V x3>2 Risolvendo le disequazioni binomie, otteniamo: x<1 V x>3√2
equazioni monomie => x^n = 0
Esempio: x3=0 Ora si fa la radice di x e o: 3√x3 = 3√0 Risolvendo le radici, il risultato di x è 0: x=0
equazioni binomie => ax^n + b = 0
Esempio: x3+8=0 Portiamo 8 dall'altro lato dell'uguale: x3=-8 Poi facciamo la radice di entrambi 3√x3= 3√-8 Infine semplifichiamo, e la soluzione è: x=-2
equazioni trinomie => ax^n+bx^n+c = 0
Esempio: x4-13x2+36=0 L'equazione associata x4-13x2+36=0 è un'equazione biquadratica, perchè è nella forma ax4+bx2+c=0, con a,b,c≠0. Poniamo x2=z z2-13z+36=0 → z1= 4 z2=9 Si deve sostituire alla z, x2: x2=4 x2=9 Metto ogni termine sotto radice: √x2= √4 √x2=√9 e queste sono le soluzioni: x=2 x=3
I metodi di risoluzione sono: Fattorizzazione Formula di Cardano Metodo delle radici razionali Metodo della divisione sintetica Approccio numericoGrafico delle funzioni
La fattorizzazione delle equazioni
La fattorizzazione delle disequazioni
Sitografia
https://www.zanichelli.it/ https://chat.openai.com/ https://www.youmath.it/ https://www.math.it/ https://www.mathone.it/
Fatta da:
Covaci Vlad Remus
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Kullafi Sergei
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Maglione Giorgia
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