PRESENTACIÓN MATRIZ INVERSA

PRESENTACIÓN

Matriz

Ángel Daniel García Prera Briseyda Anahí López Bolvito Dilia Medary Morales Ramirez Edgar Jossé Miguel López Gonzalez Jelsón Augusto Raymundo Jerónimo Jefrey Sandoval González

Inversa

Matemática II

Contaduría Pública y Auditoría

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II Ciclo

Introducción

Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero, sobre todo, lo son cuando son matrices invertibles (es decir, con inversa). Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas.

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Sección 01

¡Qué es una matriz inversa?

Definición

La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por resultado la matriz identidad, se denota como:

La matriz inversa es una herramienta importante en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales puesto que cualquier sistema puede ser escrito en la forma A= donde A es la matriz de coeficientes del sistema, x es la matriz columna o vector columna que contiene a las variables "desconocidas" y b es la matriz columna cuyas entradas son las constantes al lado derecho de las ecuaciones en el sistema.

Continuando

Observa, por tanto, que no todas las matrices tienen inversa:

• Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa. • Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa. • Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa.

+ Nota

* A la matriz que tiene inversa se le llama matriz regular. * Si no la tiene se llama matriz singular.

SECCIÓN 2

Métodos

DEFINICIÓN

Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas. Entre los métodos más básicos, destacan el de Gauss y el método de determinantes. En el primero se realizan operaciones elementales fila y en el segundo se calculan determinantes.

Inversa por el método de Gauss:

Este método consiste en:

• 1. Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.
• 2. Realizar las transformaciones de Gauss de forma sucesiva hasta conseguir que la matriz identidad quede a la izquierda. Caso de que no pueda conseguirse (toda una fila quede de ceros, por ejemplo), es porque la matriz no tiene inversa.
• 3. La matriz resultante a la derecha será la inversa de la matriz dada.

Ejemplo

Inversa por el método de Determinantes:

Este método consiste en:

• 1. Calcular el determinante de la matriz. (Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa).
• 2. Calcular la matriz adjunta.
• 3. Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior. (Este paso y el anterior son intercambiables).
• 4. La matriz inversa se obtiene dividiendo cada elemento de la matriz del paso anterior entre el determinante de la matriz dada (Calculado en el primer paso).

Ejemplo

Muchas gracias

* A la matriz que tiene inversa se le llama matriz regular. * Si no la tiene se llama matriz singular.