Proporzionalità diretta e inversa

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Proporzionalità diretta e inversa

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1. Proporzionalità diretta

• La proporzionalità diretta è una relazione tra due grandezze variabili tali che al raddoppiare, triplicare, quadruplicare, ecc. dei valori della prima, di conseguenza i corrispondenti valori della seconda raddoppiano, triplicano, ecc.

Infatti, le due grandezze variabili sono dette direttamente proporzionali.

Ma perchè? Per chiarire meglio, basta fare un esempio

• Prendiamo in considerazione questo problema:Se vogliamo preparare una cioccolata calda per i nostri amici, e sappiamo che ci vogliono 2 cucchiaini di cacao per ogni tazza, come varia il numero dei cucchiaini al variare delle persone?

• Risolviamo:per fare ciò, indichiamo il numero delle persone con la lettera x ( che è sempre la variabile indipendente ) e il numero dei cucchiaini con y (che è sempre la variabile dipendente). In seguito, per chiarire meglio le idee, costruiamo una tabella per rappresentare la relazione che ci chiede il problema e per capire le proprietà della proporzionalità diretta.

Sappiamo che il rapporto tra queste grandezze può continuare all'infinito; inoltre, dalla lettura della tabella ricaviamo un'importante caratteristica:2:1 = 4:2 = 6:3 = 8:4 = .... 30:15 = 2 (è la costante, e in questo caso rappresenta la dose di cacao per la cioccolata per una persona).

Diciamo allora che, se due grandezze sono direttamente proporzionali, allora il rapporto tra coppie di valori corrispondenti è detto costante (k).

• La legge della proporzionalità diretta:Grazie al nostro esempio, abbiamo scoperto dunque che la costante (k) si ottiene calcolando il rapporto tra la variabile dipendente (y) e la variabile indipendente (x). Da qui possiamo benissimo ricavare un' altra importante caratteristica della proporzionalità diretta, cioè la sua legge. In generale, diciamo quindi che : y = k • x

• Rappresentazione tramite un grafico:Considerando sempre il nostro esempio, rappresentiamo il grafico di una proporzionalità diretta tramite un piano cartesiano: in esso inseriamo i valori della tabella; sull'asse x quelli della variabile indipendente, sull'asse y quelli della dipendente. Tracciamo poi le coordinate e congiungiamo, infine, tutti i punti; ci accorgiamo che, eseguendo quest'ultima operazione, si forma una semiretta con origine in O.

In generale, diciamo allora che il grafico di una proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall'origine degli assi.

•Proporzionalità diretta e proporzioni

•Come ultima cosa affermiamo che due grandezze direttamente proporzionali possono essere rappresentate tramite delle proporzioni (come abbiamo visto prima nel nostro esempio). Perciò, in generale, diciamo che:

Se due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto tra due qualsiasi valori di una di esse è uguale al rapporto tra i corrispondenti valori dell'altra.

2.Proporzionalità inversa

• La proporzionalità inversa è una relazione tra due grandezze variabili tali che al raddoppiare, triplicare, quadruplicare, ecc. dei valori della prima, i corrispondenti valori dell'altra diventano la metà, un terzo, ecc. .

Infatti, le due grandezze variabili sono dette inversamente proporzionali.

Ma perchè? Per chiarire meglio, basta fare un esempio

• Prendiamo in considerazione questo problema:Se alcuni ragazzi vogliono fare un regalo di compleanno ad un loro compagno di classe, il regalo costa 30 € e, escludendo quest'ultimo, gli alunni della classe sono 20, come varia la quota che pagherà ciascuno a seconda di quanti ragazzi decidono di contribuire al regalo?

• Risolviamo:Intuiamo subito dal problema che più aumentano i partecipanti (cioè x, la variabile indipendente), più diminuisce la quota (cioè y, la variabile dipendente); per comprendere ancora meglio, costruiamo anche questa volta una tabella.

Diciamo dunque che, se due grandezze sono inversamente proporzionali, allora il prodotto di coppie di valori corrispondenti è costante (k)

Dalla lettura della tabella ricaviamo un'altra informazione: 30 • 1 = 15 • 2 = ... = 3 • 10 = 30

k = y • x

• La legge della proporzionalità diretta:Grazie al nostro esempio, abbiamo scoperto dunque che la costante (k) si ottiene calcolando il ptodotto tra la variabile dipendente (y) e la variabile indipendente (x). Da qui possiamo benissimo ricavare un' altra importante caratteristica della proporzionalità inversa, cioè la sua legge. In generale, diciamo quindi che : y = k/x

• Rappresentazione tramite un grafico:Considerando sempre il nostro esempio, rappresentiamo il grafico di una proporzionalità inversa tramite un piano cartesiano: in esso inseriamo i valori della tabella; sull'asse x quelli della variabile indipendente, sull'asse y quelli della dipendente. Tracciamo poi le coordinate e congiungiamo, infine, tutti i punti; ci accorgiamo che, eseguendo quest'ultima operazione, si forma una particolare curva, chiamata iperbole equilatera, che si avvicina senza contatto (asintoticamente) agli assi.

In generale, diciamo allora che il grafico di una proporzionalità inversa è un ramo di iperbole equilatera.

•Proporzionalità inversa e proporzioni

•Come ultima cosa affermiamo che due grandezze inversamente proporzionali possono essere rappresentate tramite delle proporzioni (come abbiamo visto prima nel nostro esempio). Perciò, in generale, diciamo che:

Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto tra due qualsiasi valori di una di esse è uguale al rapporto inverso tra i corrispondenti valori dell'altra.

Lavoro svolto da

Giulia Biscosi 3^ DD