Prebrojavanje u skupu N - 11. studenog 2023.

Prebrojavanje u skupu ℕ

Jelena Crnjac, OŠ Dinka Šimunovića, Hrvace

Brojenje, prebrojavanje i razvrstavanje dio je našega svakidašnjeg života.

Primjeri:

• Sjemenke, žitarice, tjesteninu i sl. razvrstavamo u posude.

• Na računalu razvrstavamo dokumente u mape s istim sadržajem kako bismo ih lakše pronašli.
• U školi se razvrstavaju novoupisani učenici u razredne odjele.
• Političari se dijele u interesne skupine po stranačkim opredjeljenjima.

Elemente organiziramo u određene skupine koje imaju neka zajednička svojstva. U matematici upotrebljavamo riječ skup želimo li imenovati više članova/elemenata (ljudi, životinja, brojeva, zgrada,..) koji imaju neka zajednička svojstva ili osobine. Za te pojmove u matematici ne postoji stroga definicija nego se oni intuitivno podrazumijevaju.

Zapisivanje skupa:

𝑆={𝑠𝑢𝑛𝑐𝑜𝑘𝑟𝑒𝑡,𝑗𝑒č𝑎𝑚, 𝑧𝑜𝑏, 𝑘𝑢𝑘𝑢𝑟𝑢𝑧} 𝑀={𝑑𝑛𝑒𝑣𝑛𝑖𝑘, š𝑘𝑜𝑙𝑎, 𝑣𝑖𝑐𝑒𝑣𝑖} 𝑆={𝐻𝐷𝑍, 𝑆𝐷𝑃, 𝐻𝑁𝑆, 𝐻𝑆𝑃,𝑀𝑂𝑆𝑇, 𝑀𝑂Ž𝐸𝑀𝑂} 𝐴={0, 2, 4, 6, 8}

Kombinatorika - grana matematike koja se bavi prebrojavanjem konačnih skupova.

Bez obzira koliko je brojanje svakodnevan posao, prebrojavanje elemenata nekog skupa može biti iznimno teško.

Na koliko načina možemo odabrati šifru koja se sastoji od 3 broja koja otvara bravu na kofer?

Na koliko načina možemo napisati univerzalni kod?

Na koliko načina možemo osmisliti registracijsku tablicu automobila?

Od svibnja 2022. stižu registracijske pločice koje sadrže 4 broja i 2 slova. Koliko je već potrošeno kombinacija tj. koliko imamo automobila u sustavu?

Malo povijest kombinatorike!

Elemente kombinatorike poznavale su i stare civilizacije. U Europi je uvodi Guldin 1622. godine. Razvija se tijekom 17. st. naročito u radovima Leibniza i Bernoullija. Naziv potječe od Leibniza (1666).

Slika 1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646. – 1716.)

Bhaskara! U Indiji prikazivanje boga Višne. To je božanstvo imalo četiri ruke. U jednoj ruci držalo je batinu, u drugoj ploču, u trećoj lotosov cvijet, a u četvrtoj školjku. I prema tome, kako su i kojim redom bili raspoređeni ti predmeti u rukama, postojala su i različita posebna imena toga božanstva. Ukupno su bila 24 imena prikazanog božanstva.

Slika 2. Prikaz božanstva Višna

Knez Silo

U Španjolskoj provinciji Asturija smješten je mali gradić Ovied, a knez imena Silo sagradio crkvu San Salvador. Kako bi crkvu označio kao svoje djelo dao je da mu se na nadgrobni spomenik napiše:

Silo princeps fecit!

Slika 3. Knez Silo

Slika 4. Prikaz s nadgrobnog spomenika: "Silo principes fecit".

Ovo treba čitati počevši od slova S u sredini pa do ona četiri t, koja stoje u kutovima. Silo je bio toliko ponosan svojim djelom ("Silo knez je učinio") i želio je da se pročita čim više puta.

To je zaista i postigao u navedenoj shemi jer se na ovaj način ta rečenica mogla pročitati 45 760 puta.

Slika 5. Prikaz s nadgrobnog spomenika: "Silo principes fecit".

ABRACADABRA Čarobna riječ: ABRACADABRA za koju su ljudi u srednjem vijeku vjerovali kako se upravo s njom mogu liječiti mnoge bolesti, a posebno trodnevne groznice. Prema receptu lječnika Serenusa Saunonicusa trebalo je tu riječ pročitati ovako kako bi Vam prošla groznica:

Slika 6. Čarobna riječ "Abracadabra".

Čitamo od svakog A pa do posljednjeg a u desnom vrhu idući u horizontalnom smijeru i ukoso desno na više.

Slika 7. Prikaz sheme "Abracadabra" za liječenje trodnevne groznice.

Čitamo od svakog A pa do posljednjeg a u desnom vrhu idući u horizontalnom smijeru i ukoso desno na više.

Na taj način riječ se može pročitati 1 024 puta. Broj bi bio i veći kada bismo čitali na sve moguće načine. Vjerujemo kako je svima prošla trodnevna groznica, dok su pročitali ovu riječ na sve moguće načine.

Slika 7. Prikaz sheme "Abracadabra" za liječenje trodnevne groznice.

Pogledajmo nekoliko riječi koje se čitaju isto i sa lijeva i sa desna:

DUD ROTOR MADAM

OKO KUK KAPAK

Pogledajmo nekoliko rečenica koje se čitaju isto i sa lijeva i sa desna:

SIR IMA MIRIS PERICA REŽE RACI REP UDOVICA BACI VODU ANA VOLI MILOVANA

Primjer: U društvu se nalazi 5 prijatelja. Dobro su raspoloženi i žele nazdraviti. Koliko će biti kucaja čaša ako će svaki od njih nazdraviti sa svakim?

Primjer: U društvu se nalazi 5 prijatelja. Dobro su raspoloženi i žele nazdraviti. Koliko će biti kucaja čaša ako će svaki od njih nazdraviti sa svakim?

Rješenje:

• 2 prijatelja: 1 nazdravljanje.

• 3 prijatelja – prvi nazdravi s drugim i trećim, te još drugi s trećim.

Ukupno: 3 načina.

• 4 prijatelja – prvi nazdravi s drugim, trećim i četvrtim, drugi nazdravi s trećim i četvrtim, a treći s četvrtim.

Ukupno: 3 + 2 + 1 = 6 načina.

• 5 prijatelja

Ukupno 4 + 3 + 2 + 1 = 10 načina.

Primjer: Četvorica prijatelja sastali su se zbog partije karata. Pri tome su se dogovorili da će te večeri odigrati toliko partija na koliko se načina mogu razmjestiti na sjedištima. Svaki od njih zauzet će jedno mjesto, koje su nazvali počasnim, i tako dugo ostati na njemu, dok se ostali ne ispremještaju na sve moguće načine. Koliko će biti takvih rasporeda?

Primjer: Četvorica prijatelja sastali su se zbog partije karata. Pri tome su se dogovorili da će te večeri odigrati toliko partija na koliko se načina mogu razmjestiti na sjedištima. Svaki od njih zauzet će jedno mjesto, koje su nazvali počasnim, i tako dugo ostati na njemu, dok se ostali ne ispremještaju na sve moguće načine. Koliko će biti takvih rasporeda?

Rješenje: Pogledajmo što se događa ako imamo tri prijatelja: 𝐴, 𝐵 i C. Tada bi svaki od njih mogao sjediti na počasnom mjestu, dok bi druga dvojica mijenjala svoja mjesta. Imamo sljedeće:

Imamo 3∙2=6 mogućnosti.

Ako promatramo četvoricu prijatelja imamo: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 mogućnosti.

Nešto slično mogli bismo zaključiti i da smo imali više prijatelja na večeri kartanja.

Primjer: Na koliko načina možemo ispremještati 5 knjiga na police na sve moguće načine?

Primjer: Na koliko načina možemo ispremještati 5 knjiga na police na sve moguće načine?

Rješenje: Prvu knjigu možemo staviti na 5 načina. Drugu knjigu na preostala 4 načina, treću na preostalih 3 načina, četvrtu na preostala 2 načina, a petu na 1 način. Ukupno: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 načina.

Velik broj zadataka vezanih uz prebrojavanje može se riješiti upotrebom dvaju očiglednih principa za konačne skupove:

Princip sume

Ako je skup 𝐴 veličine 𝑎, a skup 𝐵 veličine 𝑏, te ako su 𝐴 i 𝐵 međusobno disjunktni, onda je njihova unija veličine 𝑎 + 𝑏.

𝑘(𝐴)=𝑎, 𝑘(𝐵)=𝑏, 𝐴∩𝐵=∅ → 𝐾(𝐴∪𝐵)=𝑎+𝑏

Primjer:

Ako u razredu ima 𝑑 djevojčica i 𝑚 dječaka, onda u tom razredu ima 𝑑 + 𝑚 učenika, tj. kažemo kako jednog učenika možemo izabrati na 𝑑 + 𝑚 načina.

Primjer: Anina kuća u prizemlju ima 4 prozora, na prvom katu 6, a na drugom katu 8 prozora. Svi prozori gledaju prema moru. Na koliko načina Ana promatrati more?

Potrebno jest uočiti 3 skupa: 𝑃- prizemlje, 𝐾- prvi kat, 𝐷 – drugi kat. Preciznije:

Rješenje:

P={p1, p2, p3, p4}K={k1, k2, k3, k4, k5, k6} D={d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7, d8}

To su konačni skupovi i vrlo jednostavno odredimo kardinalne brojeve:

k(P)=4, k(K)=6, k(D)=8

Promatrati more možemo sa 4 prozora u prizemlju ili s 6 prozora na prvom katu ili sa 8 prozora na drugom katu. Dakle, 4 + 6 + 8 = 18 načina

Primjer: Krenuli ste po doručak. Još se premišljate hoćete li uzeti sendvič, burek ili kroasan. U najbližoj pekari danas nude: četiri vrste sendviča (šunku i sir, pršut i sir, mozzarelu s rajčicom, piletinu sa salatom), dvije vrste bureka (sa sirom i s mesom) te tri vrste kroasana (punjen marmeladom, punjen čokoladom i prazan). Koliko imate doručaka na raspolaganju? Odnosno, na koliko načina možete za doručak odabrati jedno od ponuđenoga?

Primjer: Krenuli ste po doručak. Još se premišljate hoćete li uzeti sendvič, burek ili kroasan. U najbližoj pekari danas nude: četiri vrste sendviča (šunku i sir, pršut i sir, mozzarelu s rajčicom, piletinu sa salatom), dvije vrste bureka (sa sirom i s jabukama) te tri vrste kroasana (punjen marmeladom, punjen čokoladom i prazan). Koliko imate doručaka na raspolaganju? Odnosno, na koliko načina možete za doručak odabrati jedno od ponuđenoga?

Rješenje:

Imamo tri vrste proizvoda (tri skupa) i za svaki imamo više izbora (elementi skupa). Imamo skupove:

Također, vrlo lako odredimo kardinalne brojeve navedenih skupova:

Očito je da možete odabrati jedan od četiri sendviča ili dva bureka ili tri kroasana, dakle 4 + 2 + 3 = 9. Doručak možemo odabrati na 9 načina.

Princip produkta

Ako je skup 𝐴 veličine 𝑎, a skup 𝐵 veličine 𝑏, onda je njihov Kartezijev produkt veličine 𝑎𝑏.

Primjer: Ako je razredu ima d djevojčica i m dječaka, onda na dm načina možemo zamisliti jedan par koji se sastoji od jedne djevojčice i jednog dječaka.

Primjer: Antonio u cvjećarnici kupuje cvijet za prijateljicu koja mu je pomogla u pripremi za test iz matematike. Prodavačica mu je ponudila četiri vrste lončanica i ukrasni lončić za cvijeće u dvjema bojama. Kada se odluči za cvijet i lončić, dar može zapakirati u celofan koji se nudi u trima bojama. Na koliko načina Antonio može složiti dar za prijateljicu? Koliko načina ima ako odustane od zamatanja u celofan?

Primjer: Antonio u cvjećarnici kupuje cvijet za prijateljicu koja mu je pomogla u pripremi za test iz matematike. Prodavačica mu je ponudila četiri vrste lončanica i ukrasni lončić za cvijeće u dvjema bojama. Kada se odluči za cvijet i lončić, dar može zapakirati u celofan koji se nudi u trima bojama. Na koliko načina Antonio može složiti dar za prijateljicu? Koliko načina ima ako odustane od zamatanja u celofan?

Rješenje:

Potrebno jest uočiti 3 skupa: 𝐿- vrsta lončice, 𝐵- boja lončice, 𝐶 – boja celofna. Preciznije: L={l1, l2, l3, l4}, B={b1, b2}, C={c1, c2, c3}.

Antonio za dar treba odabrati jedno cvijeće (4 moguće vrste) i jednu boju (2 moguće boje) i jedan celofan (3 moguće boje). Dakle, 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 načina. Ako Antonio odustane od celofana onda bira jedno cvijeće (4 moguće vrste) i jednu boju (2 moguće boje). Dakle, 4 ∙ 2 = 8 načina.

Primjer: Iz otoka 𝐴 u otok 𝐵 plove četiri trajekta, a iz otoka 𝐵 u otok 𝐶 pet trajekata. Na koliko načina možemo doći iz otoka 𝐴 u otok 𝐶 preko otoka 𝐵?

Primjer: Iz otoka 𝐴 u otok 𝐵 plove četiri trajekta, a iz otoka 𝐵 u otok 𝐶 pet trajekata. Na koliko načina možemo doći iz otoka 𝐴 u otok 𝐶 preko otoka 𝐵?

Potrebno jest uočiti 2 skupa: 𝑀- trajekti koji voze otok 𝐴 otok 𝐵, 𝑁- trajekti koji voze otok 𝐵 otok 𝐶. Preciznije:

Rješenje:

Potrebno je uočiti kako trebamo izabrati jedan četiri trajekta za otok 𝐵, a zatim još jedan od pet mogućih trajekata za otok 𝐶. Dakle, 4 ∙ 5 = 20 načina.

Hvala na pažnji!