Funciones Vectoriales
jUAN mARTIN gONZALEZ rAZO 22630230 Ingenieria en sistemas computacionales Prof. Rafael Jacob Aldana Lomelí
¿Que es una función vectorial de una variable real?
Funciones vectoriales de una variable real son funciones que asignan a cada valor de una variable real un vector en un espacio vectorial.
+ info
Representación de funciones vectoriales, dominio y rango
Estas funciones se representan como f: I ⊂ R → R^n, donde I es el dominio de la función y R^n es el rango de la función.El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de las funciones coordenadas, mientras que el rango es el conjunto de todas las n-uplas de valores que la función puede tomar.
+ info
Gráfica de función vectorial y continuidad
La gráfica de una función vectorial es el conjunto de puntos que describen los extremos del radio vector cuando varía la variable. Estas funciones pueden tener límites, ser continuas y derivables, y se pueden calcular integrales indefinidas de ellas.
+ info
Derivación de una función vectorial de variable real
La derivación de una función vectorial de variable real determina la tasa de cambio instantánea de cada componente del vector en función de la variable independiente. En otras palabras, la derivada de una función vectorial nos indica cómo varía cada coordenada del vector a medida que la variable independiente cambia infinitesimalmente. Esto nos permite analizar la velocidad, aceleración y otras propiedades cinemáticas de un objeto en movimiento descrito por la función vectorial.
+ info
Integración de una función vectorial de variable real
La integración de una función vectorial de variable real consiste en calcular la integral de cada componente de la función por separado. Si tenemos una función vectorial f: I ⊂ R → R^n, la integral de f en el intervalo [a, b] se calcula como la n-tupla de las integrales de cada componente de f en el mismo intervalo. Es decir, ∫[a,b] f(t) dt = (∫[a,b] f1(t) dt, ∫[a,b] f2(t) dt, ..., ∫[a,b] fn(t) dt). Para que la integral exista, cada una de las integrales de las componentes de f debe existir en el intervalo [a, b].
+ info
Curvas regulares
Las curvas regulares son aquellas curvas que admiten rectas tangentes en todos sus puntos. Se pueden describir mediante una función vectorial α: [a, b] → R^n, donde α(t) representa el punto de la curva correspondiente al parámetro t. La regularidad implica que la función α sea diferenciable y que su derivada α'(t) sea distinta de cero en todo el intervalo [a, b]. La longitud de arco de una curva regular se puede calcular mediante la integral de la norma de su derivada, es decir, la integral de ||α'(t)|| dt. La curvatura de una curva regular se define como la magnitud de la derivada segunda de α(t) dividida por la norma de α'(t) al cubo. La curvatura mide la rapidez con la que la curva se desvía de una línea recta en cada punto.
+ info
Parametrización de una curva parametrizada
Se define la parametrización de una curva como la descripción de la curva mediante una función vectorial que asigna a cada valor de un parámetro un punto en el espacio.
+ info
Longitud de arco
La longitud de arco de una curva parametrizada se calcula mediante la integral de la norma de su derivada. Si α(t) es la función vectorial que describe la curva, la longitud de arco L entre dos puntos α(a) y α(b) se calcula como:
L = ∫[a,b] ||α'(t)|| dt
La longitud de arco representa la distancia total recorrida a lo largo de la curva y es una medida de la longitud de la trayectoria seguida.
+ info
Longitud de arco como parámetro
La longitud de arco como parámetro es una forma de parametrizar una curva utilizando la longitud de arco como el parámetro en lugar de un parámetro arbitrario. En este caso, la función vectorial que describe la curva se expresa en función de la longitud de arco s, en lugar de un parámetro t. La longitud de arco como parámetro permite una parametrización más natural y proporciona una forma de medir la distancia a lo largo de la curva de manera más intuitiva.
+ info
El vector tangente unitario
Denotado como T(t), es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto. Se calcula dividiendo el vector tangente α'(t) por su norma ||α'(t)||.
+ info
El vector normal principal
Denotado como N(t), es un vector unitario que es perpendicular al vector tangente y apunta hacia el centro de curvatura en cada punto de la curva. Se calcula como la derivada del vector tangente unitario con respecto al parámetro t.
+ info
El vector binormal
Denotado como B(t), es un vector perpendicular al plano osculador de la curva y se calcula como el producto cruz entre los vectores tangente unitario y normal principal.
+ info
La curvatura
Es una medida de cuánto se curva una curva en un punto dado. Se puede calcular como la norma del vector curvatura, que es la derivada del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco. La curvatura indica la rapidez con la que la curva se aleja de su recta tangente en un punto y se expresa como un número real.
+ info
La circunferencia de curvatura
La circunferencia de curvatura es una curva que describe el lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva dada. Se define como la curva formada por los puntos que son equidistantes de la curva original en cada punto. La circunferencia de curvatura tiene una curvatura constante y una torsión nula.
+ info
La torsión
La torsión es una medida de cuánto se tuerce una curva en un punto dado. Se calcula como la razón de cambio instantáneo del vector binormal con respecto a la longitud de arco. La torsión indica el levantamiento de la curva respecto a su plano osculador en un punto y se expresa como un número real.
+ info
Funciones Vectoriales de una variable real
Juan Martin Gonzalez Razo
Created on October 19, 2023
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Relaxing Presentation
View
Modern Presentation
View
Colorful Presentation
View
Modular Structure Presentation
View
Chromatic Presentation
View
City Presentation
View
News Presentation
Explore all templates
Transcript
Funciones Vectoriales
jUAN mARTIN gONZALEZ rAZO 22630230 Ingenieria en sistemas computacionales Prof. Rafael Jacob Aldana Lomelí
¿Que es una función vectorial de una variable real?
Funciones vectoriales de una variable real son funciones que asignan a cada valor de una variable real un vector en un espacio vectorial.
+ info
Representación de funciones vectoriales, dominio y rango
Estas funciones se representan como f: I ⊂ R → R^n, donde I es el dominio de la función y R^n es el rango de la función.El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de las funciones coordenadas, mientras que el rango es el conjunto de todas las n-uplas de valores que la función puede tomar.
+ info
Gráfica de función vectorial y continuidad
La gráfica de una función vectorial es el conjunto de puntos que describen los extremos del radio vector cuando varía la variable. Estas funciones pueden tener límites, ser continuas y derivables, y se pueden calcular integrales indefinidas de ellas.
+ info
Derivación de una función vectorial de variable real
La derivación de una función vectorial de variable real determina la tasa de cambio instantánea de cada componente del vector en función de la variable independiente. En otras palabras, la derivada de una función vectorial nos indica cómo varía cada coordenada del vector a medida que la variable independiente cambia infinitesimalmente. Esto nos permite analizar la velocidad, aceleración y otras propiedades cinemáticas de un objeto en movimiento descrito por la función vectorial.
+ info
Integración de una función vectorial de variable real
La integración de una función vectorial de variable real consiste en calcular la integral de cada componente de la función por separado. Si tenemos una función vectorial f: I ⊂ R → R^n, la integral de f en el intervalo [a, b] se calcula como la n-tupla de las integrales de cada componente de f en el mismo intervalo. Es decir, ∫[a,b] f(t) dt = (∫[a,b] f1(t) dt, ∫[a,b] f2(t) dt, ..., ∫[a,b] fn(t) dt). Para que la integral exista, cada una de las integrales de las componentes de f debe existir en el intervalo [a, b].
+ info
Curvas regulares
Las curvas regulares son aquellas curvas que admiten rectas tangentes en todos sus puntos. Se pueden describir mediante una función vectorial α: [a, b] → R^n, donde α(t) representa el punto de la curva correspondiente al parámetro t. La regularidad implica que la función α sea diferenciable y que su derivada α'(t) sea distinta de cero en todo el intervalo [a, b]. La longitud de arco de una curva regular se puede calcular mediante la integral de la norma de su derivada, es decir, la integral de ||α'(t)|| dt. La curvatura de una curva regular se define como la magnitud de la derivada segunda de α(t) dividida por la norma de α'(t) al cubo. La curvatura mide la rapidez con la que la curva se desvía de una línea recta en cada punto.
+ info
Parametrización de una curva parametrizada
Se define la parametrización de una curva como la descripción de la curva mediante una función vectorial que asigna a cada valor de un parámetro un punto en el espacio.
+ info
Longitud de arco
La longitud de arco de una curva parametrizada se calcula mediante la integral de la norma de su derivada. Si α(t) es la función vectorial que describe la curva, la longitud de arco L entre dos puntos α(a) y α(b) se calcula como: L = ∫[a,b] ||α'(t)|| dt La longitud de arco representa la distancia total recorrida a lo largo de la curva y es una medida de la longitud de la trayectoria seguida.
+ info
Longitud de arco como parámetro
La longitud de arco como parámetro es una forma de parametrizar una curva utilizando la longitud de arco como el parámetro en lugar de un parámetro arbitrario. En este caso, la función vectorial que describe la curva se expresa en función de la longitud de arco s, en lugar de un parámetro t. La longitud de arco como parámetro permite una parametrización más natural y proporciona una forma de medir la distancia a lo largo de la curva de manera más intuitiva.
+ info
El vector tangente unitario
Denotado como T(t), es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto. Se calcula dividiendo el vector tangente α'(t) por su norma ||α'(t)||.
+ info
El vector normal principal
Denotado como N(t), es un vector unitario que es perpendicular al vector tangente y apunta hacia el centro de curvatura en cada punto de la curva. Se calcula como la derivada del vector tangente unitario con respecto al parámetro t.
+ info
El vector binormal
Denotado como B(t), es un vector perpendicular al plano osculador de la curva y se calcula como el producto cruz entre los vectores tangente unitario y normal principal.
+ info
La curvatura
Es una medida de cuánto se curva una curva en un punto dado. Se puede calcular como la norma del vector curvatura, que es la derivada del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco. La curvatura indica la rapidez con la que la curva se aleja de su recta tangente en un punto y se expresa como un número real.
+ info
La circunferencia de curvatura
La circunferencia de curvatura es una curva que describe el lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva dada. Se define como la curva formada por los puntos que son equidistantes de la curva original en cada punto. La circunferencia de curvatura tiene una curvatura constante y una torsión nula.
+ info
La torsión
La torsión es una medida de cuánto se tuerce una curva en un punto dado. Se calcula como la razón de cambio instantáneo del vector binormal con respecto a la longitud de arco. La torsión indica el levantamiento de la curva respecto a su plano osculador en un punto y se expresa como un número real.
+ info