Circonferenza e tangenti

Presentazione geometria

CIRCONFERENZE E TANGENTI

Emma Corposanto, Gioele Cigolini, Viola Boschi, Christian Bruzzese, Alessio Pampaloni

INDICE

6. Teorema (no dimostrazione e inverso):se una retta è tangente a una circonferenza di centro O in un suo punto P è perpendicolare al raggio OP.

1. Definizioni: Settore circolare,semicirconferenza, semicerchio, segmeto circolare a una e due basi

2. Teorema (no dimostrazione):una retta e una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune

7. Teorema: tangenti passanti per un punto esterno alla circonferenza

8. Definizioni: cinconferenze secanti, tangenti , esterne, una interna all'altra.

3. Definizioni: rette secanti, tangenti ed esterne ad una circonfrenza

4. Teorema (no dimostrazione): se la distanza dal centro di una circonferenza da una retta è: maggiore del raggio, allora la retta è esterna alla circonferenza uguale al raggio allora è tangente alla circonferenza minore del raggio,allora la retta è secante la circonferenza

9. Teorema: la posizione reciproca di due circonferenze dipende dalla distanza tra i due centri e i due raggi.

10. Definizione: angolo alla cinconferenza.

11. Teorema: un angolo al centro è il doppio di un angolo alla cinconferenza che insiste sullo stesso arco + COROLLARI

5. Teorema (no dimostarzione):una retta è: esterna ⇔ la distanza dal centro è maggiore del raggio tangente ⇔ la distanza dal centro è uguale al raggio secante ⇔ la distanza dal centro è minore del raggio

12. Teorema: il luogo dei punti dai quali un segmento è visto sotto un angolo base.

settore circolare

Settore circolare

Un settore circolare è la parte di cerchio compresa fra un arco e i due raggi che congiungono il centro con gli estremi dell'arco. Anche i raggi e l'arco fanno parte del settore circolare.

Semicerchio e semicirconferenza

Semicirconferenza

L'arco che corrisponde a un angolo al centro piatto.

Semicerchio

Il settore circolare corrispondente a un angolo piatto al centro.

segmento circolare

Segmento circolare ad una base

Segmento circolare a due basi

Il segmento circolare a una base è la parte di cerchio compresa fra un arco e la corda che la sottende.Anche arco e corda fanno parte del settore circolare.

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa fra due corde parallele. Anche esse sono comprese nel settore circolare.

Teorema:

Una retta ed una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune.

Retta tangente

Una retta è tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa.

Retta secante

Retta esterna

Una retta è secante ad una cinconfrenza se ha due punti in comune con essa.

Una retta è esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con essa

teoremiSe la distanza dal centro di una circonferenza da una retta è:

1. maggiore del raggio, allora la retta è esterna alla circonferenza (⇔)
2. uguale al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza (⇔)
3. minore del raggio, allora la retta è secante alla circonferenza (⇔)

Teorema:

Se una retta è tangente ad una circonferenza di centro O in un suo punto P, allora è perpendicolare al raggio OP. (⇔)

Teorema: tangenti passanti per un punto esterno alla circonferenza

Hp) P è esterno alla cinconferenza γ le rette PT1 e PT2 sono tangenti a γ Th) PT1 ⩭ PT2

CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE

CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE

CIRCONFERENZE SECANTI

Due circonferenze sono tangenti esternamente quando hanno un solo punto un comune e il centro di una è esterno all'altra.

Due circonferenze sono tangenti internamente quando hanno un solo punto un comune e il centro di una è interno all'altra.

Due circonferenze sono secanti quando hanno due punti in comune.

CIrconferenze una interna all'altra

CIrconferenze esterne

Due circonferenze sono esterne quando tutti i punti di una circonferenza sono esterni all'altra e viceversa

Due cironferenze sono una interna all'altra se hanno raggi diversi e tutti i punti della circonferenza sono interi all'altra

Teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano distinte:- una interna all’altra è che la distanza dei centri sia minore della differenza dei raggi. - tangenti internamente è che la distanza dei centri sia uguale alla differenza dei raggi. - tangenti secanti è che la distanza dei centri sia minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza. - tangenti esternamente è che la distanza dei centri sia uguale alla somma dei raggi. - esterne è che la siatnza dei centri sia maggiore della somma dei raggi.

Circonferenze tangenti

Circonferenze secanti

Se due circonferenze di centri O e O' sono secanti nei punti A e B allora la retta che passa per i loro centri è l'asse del segmento AB.

Se due circonferenze sono tangenti, il punto di tangenza appartiene alla retta che passa per i loro centri.

ANGOLO Alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l'altro tangente.

Info

TEOREMA:

hp)

- α angolo al centro- β angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco

TH)

α ≅ 2β

COROLLARI

Primo corollario

secondo corollario

Nella stessa circonferenza, due o più angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti.

Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza, è retto.

Teorema:

dimostrazione completa

Il luogo dei punti che vedono un dato segmento sotto un angolo retto è la circonferenza che ha quel segmento come diametro.E un triangolo rettangolo è sempre inscrivibile in una semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa.

ES. 140pag. G233

MAPPE:

VIDEORIASSUNTIVI

grazie per l'attenzione !

il centro o è interno all'angolo APB

Circonferenza di centro Oα, α ', β, β' angoli PE diametro O ∈ EP

hp)

β'

TH)

α'

α+α' ≅ 2β+2β'

Siccome ogni angolo alla circonferenza insiste su un solo arco, e che un arco corrisponde solo ad un angolo al centro, quindi a ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo angolo al centro (quello che insiste sullo stesso arco). Qui affainco possiamo notare degli esempi in cui mostriamo un angolo alla circonferenza e l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

il centro o è su un lato dell'angolo della circonferenza APB

Circonferenza di centro OO ∈ AP AP diametro

hp)

TH)

β'

α ≅

2β

Il centro o è esterno all'angolo APB

Circonferenza di centro Oα, α ', β, β' angoli PE diametro O ∈ EP

hp)

α'

TH)

α' ≅ 2β'

β'