i sistemi lineari

I SISTEMI LINEARI

"Sistemi Lineari: Analisi Dettagliata e Applicazioni Pratiche"

indice

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: Sostituzione

Definizione dei Sistemi Lineari

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: confronto

Sistemi di Tre Equazioni in Tre Incognite: Soluzioni e Applicazioni

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: cramer

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: riduzione

Sistemi letterali e fratti

Definizione dei Sistemi Lineari

Cosa Sono i Sistemi Lineari di Equazioni?

Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari, che possono essere due equazioni in due incognite, tre equazioni in tre incognite o qualsiasi numero di equazioni in un numero uguale o maggiore di incognite. In parole semplici, le equazioni lineari sono semplici equazioni di primo grado con più di una variabile.

ESEMPI

Un sistema lineare in due incognite potrebbe essere il seguente: 1) 2x + 3y = 10 2) 4x - y = 5 In questo caso, abbiamo due equazioni (equazione 1 ed equazione 2) con due incognite, x e y. Risolvere questo sistema significa trovare i valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni simultaneamente. Per fare cio dobbiamo riccorere a diversi metodi che andremo a vedere in seguito

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: Sostituzione

metodo di sostituzione

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le equazioni: 1) 2x - 3y = -12 2) x + 4y = 5 Scegliamo una delle due equazioni e risolviamo per una delle incognite. In questo caso, prendiamo la seconda equazione (x + 4y = 5) e risolviamo per "x": x = 5 - 4y

Il metodo di sostituzione è uno dei modi per trovare le soluzioni di un sistema di equazioni, ed è particolarmente utile quando si tratta di sistemi in due incognite.

metodo di sostituzione

PASSO 2

Prendiamo l'espressione ottenuta nel passo 1 (x = 5 - 4y) e la sostituiamo nell'altra equazione del sistema. In questo caso, sostituiremo l'espressione di "x" nell'equazione 1: 2(5 - 4y) - 3y = -12

1) 2x - 3y = -12 2) x = 5 - 4y

METODO DI SOSTITUZIONE

PASSO 3

Risolviamo il nuovo sistema ottenuto dopo la sostituzione.In questo caso, abbiamo: 10 - 8y - 3y = -12 Semplifichiamo l'equazione e risolviamo per la variabile restante. In questo caso, risolviamo per "y": -11y = -22 y = 2

1) 2(5 - 4y) -3y = -12 2) x = 5 - 4y

METODO DI SOSTITUZIONE

PASSO 4

ora che abbiamo il valore di "y", possiamo sostituirlo nell'espressione che abbiamo trovato per "x" nel passo 1: x = 5 - 4y x = 5 - 4(2) x = 5 - 8 x = -3

1) y = 2 2) x = 5 - 4y

metodo di sostituzione

CONCLUSIONE

Ora abbiamo trovato i valori delle due incognite: x = -3 e y = 2.Questa coppia di valori è la soluzione del sistema. In questo caso, abbiamo risolto il sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione e trovato che la coppia ordinata (-3, 2). Questo metodo è particolarmente utile quando una delle equazioni ha un coefficiente 1 o -1, poiché semplifica i calcoli.

x = -3 y = 2.

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: confronto

METODO DI CONFRONTO

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 1) 4x + y = 2 2) 3x - y = 12 Scegliamo una delle equazioni e risolviamo per una delle incognite in termini dell'altra. In questo caso, prenderemo la prima equazione (4x + y = 2) e risolveremo per "y": y = -4x + 2

Il metodo del confronto è un altro modo per risolvere un sistema di equazioni, ed è una variante del metodo di sostituzione. Questo metodo è particolarmente utile quando hai un sistema di equazioni in due incognite.

METODO DI CONFRONTO

PASSO 2

Prendiamo la seconda equazione (3x - y = 12) e risolviamo per la stessa incognita, "y" in questo caso: y = 3x - 12

1) y = -4x + 22) 3x - y = 12

METODO DI CONFRONTO

PASSO 3

Adesso che abbiamo entrambe le espressioni per "y," uguagliamole: -4x + 2 = 3x - 12

1) y = -4x + 22) y = 3x - 12

METODO DI CONFRONTO

PASSO 4

Risolviamo l'equazione ottenuta nel passo 3 per trovare il valore di una delle incognite. In questo caso, risolveremo per "x":-4x - 3x = -12 - 2 -7x = -14 x = 2

-4x + 2 = 3x - 12

METODO DI CONFRONTO

PASSO 5

Ora che abbiamo il valore di "x," possiamo sostituirlo in qualsiasi delle due espressioni per "y" che abbiamo ottenuto nei passi 1 e 2. In questo caso, useremo la prima espressione: y = -4x + 2 y = -4(2) + 2 y = -8 + 2 y = -6

1) y = -4x + 22) x = 2

METODO DI CONFRONTO

CONCLUSIONE

In questo caso, abbiamo risolto il sistema di equazioni utilizzando il metodo del confronto e trovato che la soluzione è (2, -6).Questo metodo è utile quando si vuole evitare di risolvere esplicitamente una delle incognite nelle equazioni originali.

y = -6x = 2

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: riduzione

METODO DI RIDUZIONE

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 1) 2x - 3y = 5 2) 4x + 3y = 1

Il metodo di riduzione è un altro metodo per risolvere un sistema di equazioni ed è particolarmente utile quando le equazioni hanno coefficienti opposti per una delle variabili.

Notiamo che i coefficienti della variabile "y" sono opposti nelle due equazioni (3y e -3y). Questa è la chiave per utilizzare il metodo di riduzione.

METODO DI RIDUZIONE

PASSO 2

Per eliminare la variabile "y," sommiamo le due equazioni membro per membro. Questo annullerà la parte con la variabile "y": 2x - 3y = 5 4x + 3y = 1 6x 0 = 6 x = 1

1) 2x - 3y = 5 2) 4x + 3y = 1

Risolviamo per la variabile "x"

METODO DI RIDUZIONE

PASSO 3

Ora che abbiamo trovato il valore di "x," possiamo sostituirlo in una delle equazioni iniziali. In questo caso, useremo la prima equazione (2x - 3y = 5): 2x - 3y = 5 2(1) - 3y = 5 2 - 3y = 5

1) 2x - 3y = 5 2) x = 1

METODO DI RIDUZIONE

PASSO 4

Risolviamo per la variabile "y": 2 - 3y = 5 -3y = 5 - 2 -3y = 3

1) 2 - 3y = 5 2) x = 1

y = -1

METODO DI RIDUZIONE

CONCLUSIONE

In questo caso, abbiamo risolto il sistema di equazioni utilizzando il metodo di riduzione e trovato che la soluzione è (1, -1). Questo metodo è particolarmente efficace quando i coefficienti delle variabili opposte si annullano quando sommati o sottratti.

1) y = -1 2) x = 1

Metodo di Risoluzione di Sistemi Lineari: cramer

METODO DI CRAMER

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 1) 5x + 3y = 1 2) 2x + y = 4 Calcolaiamo la determinante principale (D) del sistema, che è ottenuto dai coefficienti delle variabili x e y:

Il metodo di Cramer è un metodo per risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando determinanti. Questo metodo è particolarmente utile quando si desidera trovare una soluzione esplicita per un sistema di equazioni con più incognite.

5 32 1

= 5×1-2×3= -1≠0

D=

METODO DI CRAMER

PASSO 2

Calcoliamo i determinanti Dx e Dy, che sono ottenuti sostituendo la colonna dei termini noti alle colonne dei coefficienti di x e y, rispettivamente:

5 32 1

= 5×1-2×3= -1≠0

D=

1 34 1

= 1×1-4×3= -11

Dx=

5 12 4

= 5×4-2×1= 18

Dy=

METODO DI CRAMER

PASSO 3

Calcolaiamo le incognite "x" e "y" utilizzando i determinanti Dx e Dy: x = Dx / D y = Dy / D Calcolaiamo i valori di x e y sostituendo i determinanti Dx e Dy nei calcoli: x = (-11) / (-1) = 11 y = (18) / (-1) = -18

5 32 1

= 5×1-2×3= -1≠0

D=

1 34 1

= 1×1-4×3= -11

Dx=

5 12 4

= 5×4-2×1= 18

Dy=

METODO DI CRAMER

CONCLUSIONE

In questo caso, abbiamo risolto il sistema di equazioni utilizzando il metodo di Cramer e trovato che la soluzione è (11, -18).Questo metodo è utile quando desideri calcolare direttamente i valori delle incognite, ma è importante verificare sempre che il determinante principale (D) sia diverso da zero prima di applicare il metodo di Cramer.

x = 11 y = -18

Sistemi di Tre Equazioni in Tre Incognite

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 1) 5x + 4y - z = 2 2) -3x + 3y + 2z = 7 3) x + y - z = -1

La risoluzione di sistemi di tre equazioni in tre incognite segue molte delle considerazioni fatte per i sistemi di due equazioni in due incognite, ma con una dimensione in più. In sostanza, dobbiamo trovare una terna ordinata di numeri che soddisfi tutte e tre le equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema, possiamo applicare i metodi di sostituzione, confronto o riduzione, esattamente come li applicheremo in un sistema di due equazioni in due incognite. Nel nostro esempio, useremo il metodo di sostituzione.

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

PASSO 2

Scegliamo una delle equazioni e risolviamo una delle incognite in funzione delle altre. Ad esempio, dalla terza equazione possiamo risolvere per "x": x = -y + z - 1

1) 5x + 4y - z = 2 2) -3x + 3y + 2z = 7 3) x + y - z = -1

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

PASSO 3

Sostituiamo l'espressione ottenuta nel passo 2 (x = -y + z - 1) nelle altre due equazioni del sistema:

1) 5x + 4y - z = 2 2) -3x + 3y + 2z = 7 3) x = -y + z - 1

5x + 4y - z = 2 5(-y + z - 1) + 4y - z = 2 -5y + 5z - 5 + 4y - z = 2 -y + 4z - 5 = 2

-3x + 3y + 2z = 7-3(-y + z - 1) + 3y + 2z = 7 3y - 3z + 3 + 3y + 2z = 7 6y - z + 3 = 7

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

PASSO 4

1) -y + 4z - 5 = 22) 6y - z + 3 = 7 3) x = -y + z - 1

Risolviamo il sistema di due equazioni in due incognite ottenuto nel passo 3. Possiamo utilizzare i metodi di sostituzione, confronto o riduzione, come nei sistemi di due equazioni in due incognite.Nel nostro caso: Dalla prima equazione otteniamo: -y + 4z = 7 Dalla seconda equazione otteniamo: 6y - z = 4.

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

PASSO 5

Risolviamo il sistema ridotto. In questo esempio, utilizziamo il metodo di sostituzione: Da -y + 4z = 7 otteniamo: y = 4z - 7. Sostituendo questo valore in 6y - z = 4, otteniamo: 6(4z - 7) - z = 4. Risolvendo l'equazione otteniamo z = 2.

1) -y + 4z = 7 2) 6y- z = 4 3) x = -y + z - 1

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

Ora che abbiamo trovato il valore di "z," possiamo determinare le altre incognite. Utilizzando y = 4z - 7, otteniamo y = 4(2) - 7, che è y = 1. Utilizzando x = -y + z - 1, otteniamo x = 0.

1) y = 4z - 72) z = 2 3) x = -y + z - 1

La soluzione del sistema originale è la terna (0, 1, 2).

Questi sono i passi fondamentali per risolvere sistemi di tre equazioni in tre incognite. Puoi applicare metodi come la sostituzione, il confronto o la riduzione per semplificare i calcoli e trovare la soluzione.

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

CONCLUSIONE

Ora che abbiamo trovato il valore di "z," possiamo determinare le altre incognite. Utilizzando y = 4z - 7, otteniamo y = 4(2) - 7, che è y = 1. Utilizzando x = -y + z - 1, otteniamo x = 0.

1) y = 4z - 72) z = 2 3) x = -y + z - 1

La soluzione del sistema originale è la terna (0, 1, 2).

Questi sono i passi fondamentali per risolvere sistemi di tre equazioni in tre incognite. Puoi applicare metodi come la sostituzione, il confronto o la riduzione per semplificare i calcoli e trovare la soluzione.

Sistemi letterali

Sistemi letterali

PASSO 1

Nel nostro esempio, abbiamo le seguenti equazioni:1) ax + 3ay = 18 2) 2x + ay = a

Un sistema letterale è un insieme di equazioni in cui, oltre alle incognite, compaiono anche lettere chiamate parametri. La soluzione di un sistema letterale può variare in base ai valori dei parametri. Spesso, per risolvere questi sistemi, è utile utilizzare il metodo di Cramer, come vediamo nell'esempio seguente.

Calcola il determinante principale (D) del sistema, che è ottenuto dai coefficienti delle variabili x e y, con i parametri sostituiti: D = a(ay) - (3a)(2) = a² - 6a

Sistemi letterali

PASSO 2

Calcola i determinanti Dx e Dy, che sono ottenuti sostituendo la colonna dei termini noti alle colonne dei coefficienti di x e y, rispettivamente: Dx = 18(ay) - (3a)(a) = 18ay - 3a² Dy = a(18) - (a)(2) = 18a - 2a

D = a(ay) - (3a)(2) = a² - 6a

Verifica se il determinante principale (D) è diverso da zero. Se D è uguale a zero, il sistema può essere o indeterminato o impossibile.

Sistemi letterali

PASSO 3

Se D è diverso da zero (cioè a² - 6a ≠ 0), il sistema è determinato. Ora, puoi calcolare le incognite "x" e "y" utilizzando i determinanti Dx e Dy: x = Dx / D y = Dy / D Calcola i valori di x e y sostituendo i determinanti Dx e Dy nei calcoli: x = (18ay - 3a²) / (a² - 6a) y = (18a - 2a) / (a² - 6a)

Dx = 18(ay) - (3a)(a) = 18ay - 3a² Dy = a(18) - (a)(2) = 18a - 2a D = a(ay) - (3a)(2) = a² - 6a

CONCLUSIONE

la soluzione è x = -3 e y = (a + 6) / a.