Matematicka logika

Matematička logika

Aida Đendušić, IV-3

Index

4.

1.

Pojam

Primjeri

2.

5.

Historija i značajni matematičari

Zanimljivost

6.

3.

Primjena

Pojam iskaza i operacije

1.Pojam

POJAM MATEMATIČKE LOGIKE

Matematička logika je grana matematike i logike koja se bavi prikazom tradicionalne logike simbolima (pa se još naziva i simboličkom logikom), pri čemu je sve potpuno definirano te nema mogućnosti različitog shvaćanja kao što je to često u tradicionalnoj logici.

"Čista matematika je, na svoj način, poezija logičkih ideja." Albert Einstein

2. Historija i značajni matematičari

Matematičari

Nastanak

• George Boole- samouki engleski matematičar, filozof i logičar.
• Radio je u oblastima diferencijalnih jednačina i algebarske logike, i najpoznatiji je kao autor djela Zakoni razmišljanja , u kojem se nalazi Booleova algebra.
• Bertrand Russell- britanski matematičar, filozof, logičar
• Imao je značajan uticaj na matematiku, logiku, teoriju skupova, lingvistiku, vještačku inteligenciju, i računarstvo
• Charles Sanders Peirce- američki naučnik, matematičar, logičar
• Dao ključne doprinose razvoju predikatne logike i predstavio inovativne notacije za logičke izraze, što je značajno unaprijedilo polje formalne logike.

• nastala je sredinom 19. stoljeća kao područje unutar matematike, odražavajući spajanje dvije tradicije: formalne filozofske logike i matematike.
• Prije ovog nastanka, logika se proučavala kroz retoriku, kalkulacije, putem silogizma i filozofije.
• Prva polovina 20. vijeka donijela je eksploziju temeljnih rezultata, praćenu žustrim raspravama o temeljima matematike.

3. Iskaz

Pojam iskaza i operacije sa iskazom

Iskaz ili logička izjava je izjavna rečenica koja ima smisla i za koju možemo reći da je tačna ili netačna - ništa treće. Osnovne logičke operacije su temeljne operacije koje se koriste u logičkom zaključivanju i obradi logičkih izraza. To su: negacija, disjunkcija, konjunkcija, implikacija i ekvivalencija.

3.1. Operacije

Disjunkcija

Disjunkcija iskaza α je iskaz a∨b koji je tačan ako i samo ako je bar jedan od iskaza α i b tačan.

Negacija

Negacija iskaza α je iskaz ¬a koji je tačan ako i samo ako je iskaz α netačan.

3.2. Operacije

Implikacija

Implikacija iskaza a i b je iskaz a⇒b koji je netačan ako i samo ako je iskaz a tačan, a iskaz b netačan

Konjunkcija

Konjukcija iskaza a i b je iskaz a∧b koji je tačan ako i samo ako su oba iskaza a i b tačna.

3.3. Operacije

Ekvivalencija

Ekvivalencija iskaza a i b je iskaz a⇔b koji je tačan ako i samo ako su oba iskaza a i b istovremeno tačna ili oba istovremeno netačna.

1. Dokazati da li je sljedeća formula tautologija:

4. Primjer

[(p⇒q)∧ ¬r]⇔¬p∨r A B

2. Ispitaj tačnost formule:

4. Primjer

ꓔ ∨ {¬(ꓔ⇒ꓔ)∨ ꓕ}⇔{¬ꓔ⇒ꓕ}

ꓔ ∨{¬ꓔ∨ꓕ}⇔ {ꓕ⇒ꓕ} ꓔ∨{ꓕ∨ꓕ}⇔ ꓔ ꓔ∨ꓕ⇔ ꓔ ꓔ⇔ ꓔ ꓔ

3. Dati su iskazi

4. Primjer

p≡"2x-3=10, za x=6" q≡"Švedska je najveća država u Americi" r≡"3^3+3^2=36

Ispitaj tačnost iskaza p,q,r, a zatim tačnost formule: ¬r⇔(¬p⋁q)⋁(q⋀r)

5. Zanimljivost

GeBooleova algebra

Ima praktičnu primjenu u računarstvu, elektronici i programiranju. To je temelj na kojem se grade logički sklopovi i računarski algoritmi Pokazuje da apstraktne logičke koncepte možemo primijeniti na svakodnevne tehnološke izazove

6. Primjena

Računarske nauke

Vještačka inteligencijea

Filozofija

Koristi se u programiranju, dizajnu algoritama, formalnoj verifikaciji softvera i hardvera, te u razvoju algoritama za vještačku inteligenciju i mašinsko učenje.

Matematička logika predstavlja temelj vještačke inteligencije (VI), pružajući strukturiran okvir za reprezentaciju znanja, zaključivanje i donošenje odluka.

Matematička logika, utemeljena na antičkoj filozofiji, pruža formalne alate za razmišljanje i dokazivanje. Filozofi su koristili matematičku logiku za istraživanje pitanja o znanju, istini, etici, jeziku i temeljima matematike. Ovaj međusobni odnos obogaćuje oba polja i unapređuje naše razumijevanje temeljnih koncepata.

Hvala na pažnji!