Reto 5. Límites y continuidad de una función.

Límites y Continuidad de una Función

Límites de una Función

Definición Formal de Límites

¿Qué son los Límites?

Teorema de los límites

Límites al infinito

Límites Bilate rales

Límites infinitos

Límites unilaterales

Los Teoremas Sobre Límites

1. El teorema del límite único:
2. Teorema del Límite Constante:
3. Teorema del Límite de x:
4. Teorema de la Suma y Resta de Límites:
5. Teorema del Producto de Límites:
6. Teorema del Cociente de Límites:
7. Teorema del Límite Constante:
8. Teorema del Límite Constante:
9. Teorema del Valor Constante:
10. Teorema del Límite de una Función Compuesta:
11. Teorema del Límite Exponencial
12. Teorema del Límite de una Función Compuesta:
13. Teorema del Límite Infinito:
14. Teorema del Límite de una Función Recíproca:

Procedimiento para Calcular Límites

Fuentes

Qué son los Límites?

Los límites de una función son una idea importante en las matemáticas que nos ayudan a entender cómo se comporta una función cuando nos acercamos a un punto específico en su gráfica. En otras palabras, nos dicen a dónde se dirige la función cuando la variable independiente (normalmente llamada 'x') se acerca a un valor particular.

Figura 3 Limite de una Funccion

Definición Formal de Límites

De acuerdo com Stewart (2018)."El límite de una función nos dice qué valor se acerca una función a medida que la variable independiente se acerca a un número especial, llamado 'a'. Esto significa que, incluso si la función no está definida exactamente en ese número especial, podemos hacer que la función se acerque tanto como queramos a ese valor, con una pequeña cantidad de error permitido. Siempre podemos encontrar un 'delta' que nos dice qué tan cerca debemos estar de 'a' para que la función se comporte como queremos, sin importar cuán pequeño sea el error. Esta definición precisa nos ayuda a entender cómo se comportan las funciones en situaciones donde queremos evaluar su proximidad a un valor específico, y aunque pueda sonar complicada al principio, nos permite entender mejor cómo funcionan las matemáticas."

Figura 1 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITES

Figura 2 Grafica de limite de una función.

Límites Unilaterales:

Límites Unilaterales: Aproximación desde una sola dirección: En los límites unilaterales, te acercas a un número desde una sola dirección, ya sea desde la izquierda (límite izquierdo) o desde la derecha (límite derecho). Indicación de dirección: Los límites unilaterales utilizan notación específica para indicar la dirección desde la cual se está aproximando al número. Por ejemplo, "Lim[x -> a+] f(x)" denota el límite derecho (desde la derecha) y "Lim[x -> a-] f(x)" denota el límite izquierdo (desde la izquierda). Pueden ser diferentes: En algunos casos, los límites unilaterales desde la izquierda y desde la derecha pueden dar resultados diferentes. Esto ocurre cuando la función tiene un salto o discontinuidad en el punto de interés.

Figura 4 Límite Unilaterales Acercandose desde desde la derecha (límite derecho).

Los límites bilaterales

Los límites bilaterales, en el contexto del cálculo, son reglas y propiedades que nos ayudan a calcular límites cuando nos acercamos a un número desde ambas direcciones, es decir, desde la izquierda y desde la derecha. Ademas, los límite bilateral se refiere a aproximarse a un número "a" desde ambas direcciones, tanto desde la izquierda como desde la derecha. En una gráfica, esto se representaría como una línea que se acerca a "a" desde ambos lados del número en el eje x. La gráfica mostraría la función acercándose a "a" desde la izquierda y desde la derecha, y ambas líneas convergiendo hacia el mismo valor a medida que te acercas al número "a".

Figura 5 Límite Bilaterales Acercandose desde ambas direcciones.

Límites al infinito

Los "límites al infinito" son conceptos fundamentales en el cálculo y se utilizan para entender el comportamiento de las funciones a medida que la variable independiente se aleja hacia infinito o menos infinito. Hay dos tipos principales de límites al infinito: límites infinitos positivos y límites infinitos negativos. Aquí tienes una explicación de ambos: Límite Infinito Positivo: Cuando hablamos de un límite infinito positivo, estamos interesados en comprender cómo se comporta una función a medida que la variable independiente se acerca a infinito (es decir, crece indefinidamente). En notación matemática, se expresa como Lim[x -> ∞] f(x), lo que significa que estamos evaluando cómo f(x) se comporta cuando x se hace cada vez más grande. Un resultado típico de un límite infinito positivo es que la función se acerca a un valor infinitamente grande a medida que x se vuelve infinitamente grande. Límite Infinito Negativo: Un límite infinito negativo implica entender cómo se comporta una función a medida que la variable independiente se acerca a menos infinito (es decir, disminuye indefinidamente). En notación matemática, se expresa como Lim[x -> -∞] f(x), lo que significa que estamos evaluando cómo f(x) se comporta cuando x se hace cada vez más pequeño (negativo). Un resultado típico de un límite infinito negativo es que la función se acerca a un valor infinitamente pequeño (cero) a medida que x se vuelve infinitamente pequeño (negativo).

Figura 7. El comportamiento de funciones que se aproximan a un número cuando la variable crece o decrece indefinidamente ( Lim[x -> ∞] f(x), Lim[x -> -∞] f(x) ) se indica de la siguiente manera:

Límites infinito

Los "Límites infinito" se refieren a límites donde la variable independiente se acerca a un valor infinito positivo o negativo. Es decir, se trata de evaluar cómo una función se comporta cuando x crece indefinidamente en dirección positiva (infinito positivo) o disminuye indefinidamente en dirección negativa (infinito negativo). Límite Infinito Positivo: Cuando hablamos de un "límite infinito positivo", nos preguntamos qué sucede con la función cuando x se vuelve cada vez más grande. Es como si quisiéramos saber cómo se comporta la función cuando x crece y crece sin límite. ¿La función se acerca a un valor específico a medida que x se hace grande, o se dispara hacia arriba sin parar? Eso es lo que estamos buscando. Límite Infinito Negativo: En el caso de un "límite infinito negativo", nos preguntamos qué ocurre con la función cuando x se hace cada vez más pequeño o negativo. Queremos saber si la función se acerca a un valor específico a medida que x se hace cada vez más pequeño o si se va hacia menos infinito (negativo). Estos límites infinitos son útiles porque nos ayudan a entender cómo se comporta una función en situaciones extremas, ya sea cuando x se vuelve muy grande o muy pequeño. También nos ayudan a identificar si la función tiene una especie de "línea imaginaria" a la que se acerca a medida que x se aleja hacia el infinito.

Figura 6 A partir de su gráfica, la existencia de los límites.

Los teoremas sobre límites

1.El teorema del límite único establece que si el límite de una función existe, entonces ese límite es único, es decir, no puede tener más de un valor. En términos matemáticos, si para una función f(x), el límite cuando x se acerca a un valor "a" existe, esto significa que no importa cómo te acerques a "a" (desde la izquierda o desde la derecha), el límite será el mismo número. 2. Teorema del Límite Constante: Este teorema establece que el límite de una constante es simplemente esa constante. En otras palabras, si tienes una función f(x) = c, donde "c" es una constante, entonces el límite de f(x) cuando x se acerca a cualquier valor "a" es igual a "c." 3. Teorema del Límite de x," establece que: Lim[x -> a] x = a Este teorema es fundamental y esencial en el cálculo. Significa que el límite de la variable independiente "x" cuando x se acerca al valor "a" es igual a "a". En otras palabras, a medida que te acercas a un número específico "a," la variable "x" se acercará a ese mismo número "a."3. 4. Teorema de la Suma y Resta de Límites: Este teorema establece que el límite de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de los límites de esas funciones individuales. En otras palabras, Lim[x -> a] (f(x) + g(x)) = Lim[x -> a] f(x) + Lim[x -> a] g(x) y lo mismo para la resta . 5. Teorema del Producto de Límites: Este teorema establece que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de esas funciones individuales. En otras palabras, Lim[x -> a] (f(x) * g(x)) = Lim[x -> a] f(x) * Lim[x -> a] g(x). 6. Teorema del Cociente de Límites: Este teorema establece que el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de esas funciones individuales, siempre que el límite del denominador no sea cero. En otras palabras, Lim[x -> a] (f(x) / g(x)) = Lim[x -> a] f(x) / Lim[x -> a] g(x), siempre que Lim[x -> a] g(x) ≠ 0. 7. Teorema del Límite Constante y se expresa de la siguiente manera: Lim[x -> a] c * f(x) = c * Lim[x -> a] f(x) Este teorema establece que si tienes una constante "c" multiplicada por una función "f(x)" y calculas el límite cuando "x" se acerca a un valor "a," puedes llevar la constante fuera del límite. En otras palabras, el límite de la constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función original. 8. Teorema del Límite Constante. El teorema establece lo siguiente: Si c es una constante y Lim[x -> a] f(x) = L, entonces Lim[x -> a] [f(x)]^n = L^n. Este teorema se basa en la propiedad de que una constante elevada a una potencia "n" es igual al resultado de elevar la constante "c" a la potencia "n". En otras palabras, puedes llevar la constante "c" al límite de la función elevada a la potencia "n." 9. Teorema del Valor Constante o el Teorema del Valor del Límite. Establece que: Si una función p(x) es constante en un intervalo abierto que contiene el valor "a," entonces el límite de p(x) cuando x se acerca a "a" es igual al valor de p(a). 10. Teorema del Valor Constante. Si el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor "a" es igual a un número "L" que es mayor o igual a cero (L >= 0), entonces el límite de la raíz cuadrada de f(x) es igual a la raíz cuadrada de "L." En otras palabras: Si Lim[x -> a] f(x) = L (L >= 0), entonces Lim[x -> a] √f(x) = √L. 11. Teorema del Límite Exponencial. Si el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un valor "a" es igual a un número "L" y "n" es una constante positiva, entonces el límite de n^(√f(x)) es igual a n^(√L). 12. Teorema del Límite de una Función Compuesta: Este teorema establece que el límite de una función compuesta es igual a la función compuesta de los límites de las funciones individuales. Es decir, Lim[x -> a] (f(g(x))) = f(Lim[x -> a] g(x)). 13. Teorema del Límite Infinito: Este teorema establece que si el límite de una función es infinito, entonces la función se vuelve infinitamente grande a medida que x se acerca a "a." 14. Teorema del Límite de una Función Recíproca: Este teorema establece que el límite de la función recíproca es igual al recíproco del límite de la función original. En otras palabras, Lim[x -> a] (1/f(x)) = 1 / Lim[x -> a] f(x), siempre que Lim[x -> a] f(x) ≠ 0.

Teoremas sobre limites

Procedimiento para Calcular Límites

Existen diversas técnicas para calcular límites, cada una de las cuales es aplicable en diferentes condiciones. Por lo tanto, la información proporcionada en la infografía anterior es fundamental, ya que sirve como base para la aplicación de las técnicas adecuadas en el cálculo de límites. En la siguiente pagina está un diagrama de flujo práctico para ayudarnos a calcular límites. Ejemplo: Con el diagrama de flujo (de la pagina siguiente) vamos encontrara Vamos a empezar con sustitución directa (paso A): Tenemos la forma indeterminada 0/0 (paso D en el diagrama). Ahora tenemos que determinar qué método de análisis se puede usar. Puesto que tenemos un cociente con expresiones polinómicas, utilizamos el método de factorización (paso E en el diagrama): Ahora podemos tratar la sustitución directa (paso A) ¡otra vez! Obtenemos: b/0, donde b diferente a 0 Esto significa que no existe porque hay una asíntota vertical en ese valor de \[x\] (paso B). En conclusión, estos son los pasos que seguimo en el Diagrama de la pagaina siguiente: A. Sustitución directa D. Forma indeterminada E. Factorización A. Sustitución directa B. Asíntota

Figura 8. diagrama de flujo práctico para calcular límites.

Referencias:

• Figura 6 y 7. Engler, A.(n.d) Límites infinitos y límites en el infinito. https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.3%20L%EDmites%20Infinitos.htm

• Figura 3 Fernández , J. L. (n.d.). Límites Laterales. Fisicalab.https://www.fisicalab.com/apartado/limites-laterales#lim_izq

• Figura 5. Fernández , J. L. (n.d.). Límites Laterales. Fisicalab.https://www.fisicalab.com/apartado/limites-laterales#lim_izq

• Figura 8. Khan Academy. (n.d.). Estrategia Para Encontrar Límites (artículo). Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-7/a/limit-strategies-flow-chart

• Figura 4. Serra, B. R. (2020, October 19). Límite por la derecha. Universo Formulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limite-derecha/

• Stewart, J. (2008). Calculus: Early Transcendentals.

Lorem ipsum dolor

Consectetur adipiscing elit

Stewart, J. (Año de la edición). Cálculo: Trascendentes Tempranas (6ª ed.). Editorial Cengage Learning.

• Lorem ipsum dolor sit amet.
• Consectetur adipiscing elit.
• Sed do eiusmod tempor incididunt ut.

Lorem ipsum dolor sit