Calcolo pi

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Calcolo di π , e

Manuela Mileo - a.s. 2023/24

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Calcolo del Pi greco

Introduzione

l numero π è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Come è noto nella geometria euclidea tale rapporto è invariabile, qualunque siano le dimensioni del cerchio. Si tratta di un numero irrazionale, quindi con infinite cifre, il cui calcolo non è affatto immediato.

Prima di Archimede ...

I primi tentativi di calcolo del numero π vennero fatti dalle grandi civiltà del Medio Oriente. I Babilonesi utilizzarono l’approssimazione per difetto π≈3,125, come risulta da una tavola risalente al periodo 1900-1700 a.C. I Babilonesi ottennero questo valore calcolando la lunghezza del perimetro di un esagono regolare inscritto nel cerchio, che è uguale a sei volte il raggio.

Prima di Archimede ...

Gli antichi Egizi assegnarono a π un valore approssimato per eccesso. Dal famoso papiro di Rhind (prima del 1650 a.C.) risulta che essi calcolavano l’area del cerchio mediante la formula Area del cerchio = (8/9 *D)^2 dove D è il diametro. Da questa formula si ricava il valore approssimato π≈256/81=3,1605 .Gli Egizi ottennero questo valore inscrivendo un cerchio in un quadrato con lato uguale a 9 unità. Quindi disegnarono una griglia 3×3 e un ottagono ottenuto con le diagonali dei 4 quadrati della griglia posti nei vertici del quadrato.

Metodo di Archimede

Il procedimento di Archimede si basa sul metodo di esaustione, sviluppato dai Greci per il calcolo delle aree e dei volumi. Nel caso delle figure piane questo metodo consiste nella creazione di una successione di poligoni che convergono alla figura di cui si vuole calcolare l’area. Di fatto il metodo anticipa quelle che sarà il calcolo integrale sviluppato secoli più tardi da Newton, Leibniz e altri. Uno dei risultati ottenuti da Archimede tramite il metodo di esaustione è la formula per il calcolo dell’area del cerchio.

Metodo di Archimede

L’idea di Archimede è di disegnare dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio. Le lunghezze dei perimetri dei poligoni sono utilizzate per approssimare la lunghezza della circonferenza e quindi per calcolare il valore di π. Chiaramente i poligoni circoscritti hanno lunghezze maggiori della circonferenza, mentre quelli inscritti hanno lunghezza minore. Tuttavia, aumentando il numero dei lati, i perimetri si avvicinano quanto si vuole alla lunghezza della circonferenza. In termini moderni possiamo dire che la lunghezza della circonferenza è il limite dei perimetri dei poligoni regolari, inscritti o circoscritti, al crescere del numero dei lati.

dopo Archimede ...

Intorno all’anno 150 d.C. Tolomeo utilizzò il metodo di Archimede, ottenendo il valore 3,1416 . In Cina il matematico Liu Hui, intorno al 265 d.C., con un metodo simile, utilizzando anche il teorema di Pitagora, riuscì a calcolare il numero π con 4 cifre decimali esatte. Successivamente il matematico cinese Zu Chongzhi (429–500 d.C.) riuscì ad ottenere la seguente approssimazione: 3,1415926<π<3,1415927

Ripercorriamo il suo ragionamento partendo da un quadrato di lato ln come primo poligono iscritto e passiamo a un ottagono di lato l2n, dove indichiamo con 2n il fatto che questo ha ildoppio dei lati n del quadrato

Il metodo Liu Hui e Tsu Ch’ung-chih

Consideriamo una circonferenza di raggio unitario: essa avrà un’area pari a π e la consideriamo inscritta in un quadrato di lato 1 e area 1

Il metodo di MonteCarlo

• Si lancia un ago lungo l su un pavimento a parquet, a listelli paralleli posti a distanza d > l. Calcolare la probabilità che, cadendo, l'ago intersechi una delle scanalature.
• Non è sufficiente conoscere la distanza del punto medio dell'ago dalla scanalatura, ma bisogna conoscere anche la sua inclinazione teta rispetto alla medesima.

L'ago di buffon

• Poiche l'ago deve intersecare la scanalatura, fissato teta, si ha:

• Casi favorevoli: area della regione che soddisfa la condizione precedente
• Casi possibili: area del rettangolo

Lancio di una moneta di diametro d che cade su un pavimento a piastrelle quadrate di lato r. Si scommette se la moneta cada all’interno di una piastrella oppure a cavallo di una o piùpistrelle.

La moneta di Buffon

• I casi favorevoli sono tutti quelli in cui la moneta ha il centro che cade internamente al quadrato di lato c−d: il centro non può uscire dal quadrato di lato c−d.
• I casi possibili sono quelli in cui la moneta ha il centro che cade in un qualunque punto della piastrella
• Si noti che sia il numero di casi favorevoli che il numero di casi possibili sono infiniti. Non è possibile contarli, ma si possono misurare utilizzando l'area occupata dai punti-evento (punti in cui cade il centro). La probabilità è quindi:

La probabilità di intersecare un lsto della piastrella è: Se vogliamo che il gioco sia equo dovremmo avere q = p = 1/2, e cioè

Calcolo del numero di nepero

Calcolo del numero di Nepero

Calcolo dl seno di un angolo

Calcolo del seno di un angolo

In R...

In R...

In fine...

In quest’ultima espressione possiamo osservarne il carattere ripetitivo ed è presumibilmentequella impiegata da Tsu Ch’ung-chih ripetendola per 11 volte, cioè partendo da un quadrato inscritto nella circonferenza di raggio unitario fino a ottenere un poligono regolare di 24.576 latiche approssima il valore di 2π, cioè della misura della circonferenza di raggio unitario