Probabilidad y estadística

Determinismo y certeza

Dentro de los sucesos también tenemos algunos que suelen ser de vital importancia, por ejemplo el experimento determinístico. El experimento determinístico es aquél que sólo puede ocurrir de una manera por la naturaleza que presenta. Un ejemplo muy claro es cuando dejamos caer un huevo, sabemos que el huevo al tocar el piso se estrellará, o cuándo ponemos a hervir agua, estamos 100% seguros que si la hervimos a 100°C el agua comenzará a evaporarse.

Por otro lado, tenemos el concepto de certeza que se define como la plena posesión de la verdad, pero entonces ¿Qué es el nivel de certeza?

El nivel de certeza se define como la certidumbre o el grado de confianza que puede tener un evento para ocurrir.

Por ejemplo, podemos asegurar en un 100% que si lanzamos una piedra hacia arriba, ésta caerá de nuevo al suelo.

Probabilidad:

La probabilidad es un rama muy interesante, ya que nos ayuda a predecir resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, podemos asegurar que la probabilidad de que caiga cruz es del 50% y el otro 50% corresponde a que caiga cara.

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Para conocer un poco más sobre probabilidad, debemos tener muy en claro algunas definiciones, una de ellas sería el concepto de "suceso".

Suceso: Un suceso es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento.

Acompañado a este concepto, existen otros dos de suma importancia, los cuales deben mencionarse:

• Suceso simple: Es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes más simples.
• Espacio muestral: Se compone de todos los sucesos simples posibles, es decir, está formado por todos los resultados que ya no pueden desglosarse más.

Conceptos y enfoques de probabilidad

Tenemos dos tipos de enfoques: el enfoque teórico y el enfoque facto o práctico:

• Enfoque teórico: Existen funciones de probabilidad que modelan, simulan y suponen el comportamiento de los datos, por lo tanto, mediante una función podemos determinar la probabilidad de que un evento ocurra.
• Enfoque facto o práctico: Si se conoce el espacio muestral se puede definir la probabilidad de que un suceso ocurra P(x).

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Tenemos dos tipos de muestras al momento de realizar un experimento:

• Muestra aleatoria: Los elementos son seleccionados al azar, este tipo de muestra es común en los experimentos ya que los datos no se manipulan tanto.
• Muestra no aleatoria: Los elementos se seleccionan para ser estudiados, pero es posible que el investigador elija deliberadamente los casos de estudio, en esta muestra los datos son manipulables.

El sesgo sistemático es causado por el método de selección. En cambio una muestra aleatoria no tiene tendencia sistemática y por lo tanto es relativamente representante en la población.

Cálculo de probabilidad

La probabilidad nos ayuda a medir el nivel de certeza con el cual ocurrirá un suceso determ inado. Para evitar confusiones futuras, usaremos la siguiente notación en problemas o ejemplo de probabilidad.

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P denota una probabilidad. a, b y c denotan sucesos específicos. P(a) denota la probabilidad de que ocurra el suceso a.

Podemos calcular una probabilidad con base en las frecuencias relativas, si contamos el número de veces que se realiza un procedimiento, la probabilidad se calcula de la siguiente manera:

P(a)= Número de veces que ocurrio a / Número de veces que se repitió el procedeimiento

También tenemos el método clásico de calcular probabilidades, donde suponemos que un procedimiento dado tiene n sucesos simples distintos y que cada uno de esos sucesos simples tiene la misma probabilidad de ocurrir. Lo calcularíamos de la siguiente manera.

P(a)= Número de formas en que puede ocurrir a / Número de sucesos simples diferentes

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Por último tenemos las probabilidad subjetivas, las cuales se estiman con base en el conocimiento de las circunstancias relevantes.

Sucesos complementarios

El complemento de un suceso, consiste en todos los resultados en los cuales este suceso no ocurre.

Las siguientes definiciones están relacionados con las posibilidades en los juegos de azar, analicemos cada una de ellas.

Las posibilidades reales en contra de que ocurra un suceso "a" están indicadas por el cociente casi siempre expresado en la forma a:b, dónde a y b son enteros que no tienen factores comunes. Las posibilidades reales a favor del suceso "a" son el recíproco de las posibilidades reales en contra de ese suceso. Si las posibilidades en contra de "a" son a:b, entonces las posibilidades a favor son b:a. Las posibilidades de pago contra el suceso "a" representan la proporción de la ganancia neta con respecto a la cantidad de la apuesta.

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Las posibilidades reales en contra y a favor describen la probabilidad real de algún suceso, pero las posibilidades de pago describen la relación entre la apuesta y la cantidad de pago. Las posibilidades reales corresponden a resultados reales, pero las posibilidades de pago están establecidas por los operadores del casino o el hipódromo. Es por eso que las posibilidades de pago serán diferentes de las posibilidades reales.

Reglas de conteo

Hasta el momento hemos calculado probabilidades donde se nos proporcionan todos los resultados posibles de un suceso, pero, ¿qué sucede cuando se nos dice directamente cuántos resultados son posibles? Para esto utilizaremos técnicas de conteo que serán de gran ayuda. Por ejemplo, para ganar un sorteo, se necesita escoger cinco números del 1 al 39, entonces la probabilidad que tenemos de ganar es uno sobre la cantidad de formas posibles en la que podemos escoger cinco números del 1 al 39. Aquí aprenderemos algunas técnicas de conteo para dar solución a este tipo de problemas.

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Regla fundamental del conteo:

Para una secuencia de dos sucesos en la que el primero puede ocurrir de m formas y el segundo puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos pueden ocurrir un total de mxn formas.

Dicha regla se pueden extender fácilmente a situaciones que implican más de dos sucesos, siguiendo la misma idea como se muestra en el siguiente ejemplo. Muchos delincuentes se encargan del robo de identidad, esto lo hacen con el robo del número de seguro social. Supongamos que un criminal obtiene un número de seguro social de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de qué ese número sea el nuestro?

Los números de seguro social se componen de 9 dígitos, cada uno tiene la opción de tener un número del 0 al 9, es decir tiene 10 posibilidades de ocurrir. Si seguimos la regla fundamental del conteo sería lo siguiente:

10x10x10x10x10x10x10x10x10 = 1,000,000,000

La posibilidad de que sea nuestro número es la de 1 en 1,000,000,000, por lo que resultaría poco probable que de manera aleatoria se pueda obtener nuestro número de seguro social, lo más probable sería que el ladrón nos haya investigado o robo de alguna otra manera el número de seguro social. Dentro de las técnicas de conteo tenemos también la notación factorial lo cual es de utilidad para simplificar resultados, conozcamos esta notación.

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El símbolo factorial "!" denota el producto de números enteros positivos decrecientes.

Con base en el significado del símbolo factorial y a las técnicas de conteo, podemos enunciar la siguiente regla factorial, que nos permite calcular el número de formas posibles en que un evento puede ocurrir. Una colección de n elementos distintos se puede acomodar de n! diferentes maneras. (Esta regla factorial refleja el hecho de que el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo se puede seleccionar de n-1 maneras, y así sucesivamente.

Los problemas de rutas con frecuencia utilizan la regla factorial. Veamos el siguiente ejemplo. Planeas realizar un viaje a Disney World y deseas disfrutar de cinco atracciones el primer día: Space Mountain, Tower of Terror, Rock n Roller Coaster, Mision Space y Dinosaur. ¿De cuántas maneras diferentes podrías disfrutar estas cinco atracciones?

Las maneras diferentes en las que podría disfrutar las cinco atracciones son 5!, es decir: 5!=5x4x3x2x1=120 Por lo tanto tengo 120 formas en las que puedo disfrutar las cinco atracciones de Disney World.

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Permutaciones:

Reglas de las permutaciones cuando todos los elementos son diferentes. Requisitos: Existen n elementos diferentes disponibles. Seleccionamos r de los n elementos (sin reemplazo). Consideramos que los reordenamientos de los mismos elementos son secuencias diferentes. Si se satisfacen estos requisitos, entonces el número de permutaciones está dado por: .

n! P=-------------------------- . ( n-r )

La regla anterior la podemos aplicar al siguiente ejemplo, analicemos muy bien. Cuando se prueba un nuevo fármaco, la fase incluye sólo a 8 voluntarios para evaluar dicho fármaco. Si se tiene un grupo de 10 personas, ¿de cuántas maneras podemos seleccionar 8 voluntarios?

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Si analizamos el problema, podemos determinar que n=10 y r=8, entonces, con estos datos podemos hacer uso de la fórmula anterior.

Por lo tanto, existen 1,814,400 maneras en las que podemos elegir a 8 voluntarios, lo cual no es conveniente de analizar ya que el proceso de selección sería demasiado largo.

Regla de las permutaciones cuando algunos elementos son idénticos a otros. Requisitos: Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son idénticos a otros. Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo). Consideramos que los reordenamientos de los mismos elementos son secuencias diferentes. Al cumplir con estos requisitos, el número de permutaciones es:

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Por lo tanto, existen 1,814,400 maneras en las que podemos elegir a 8 voluntarios, lo cual no es conveniente de analizar ya que el proceso de selección sería demasiado largo.

Para ilustrar mejor el uso de la fórmula, analicemos el siguiente ejemplo: Al diseñar una prueba de un método de selección de género con 10 parejas un investigador sabe que existen 1024 secuencias diferentes de género posibles cuando nacen 10 bebés. Diez parejas utilizan un método de selección del género, y los 10 nacimientos incluyen 8 niñas y 2 niños. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en secuencia 8 niñas y 2 niños?

Entonces tenemos 10 nacimientos, con 8 niñas y 2 niños, los datos que tenemos son:

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Entonces el número de permutaciones estaría determinado de la siguiente manera:

Por lo que tendríamos 45 formas de acomodar en secuencia 8 niñas y 2 niños.

El ejemplo anterior, abre paso a un concepto que se conoce como combinaciones, para el cual la fórmula sería la siguiente:

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El resultado para ambos es igual a 45, por los que las combinaciones de 10 en 8 son igual que las combinaciones de 10 en 2.