3.1.2 Área entre las gráficas de funciones

Cálculo Integral ACF-0902

Subtema 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones

Bienvenidos

Para calcular el área entre curvas, será

Y con respecto a ´´y ´´ sería

Encontrar el área de la región entre dos curvas

Ejemplo 1 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de

y las rectas

Solución: Primeramente, realizaremos la gráfica de la función

Figura 1.1

En este ejercicio no dan los límites de integración, ya que nos están dando las rectas que acotan a la función.

El área de la región es:

sustituyendo en la integral cada una de las funciones dadas

simplificar

integrando

Evaluando

simplificando

integrando

Evaluando

simplificando

Resultado

Ejemplo 2 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de

Solución: A diferencia del ejercicio anterior, en este solo tenemos las gráficas, deberemos calcular las intersecciones entre ellas, para obtener los limites de integración. Realizaremos la gráfica de la función

Calcularemos los límites de integración, igualando las ecuaciones. Esto es:

Resolviendo la ecuación cuadrática

Figura 1.2

Por lo tanto, los factores son:

Para calcular el valor de ¨y¨ se evalúa en la función, en cualquiera de las dos,

El área de la región es:

integrando

evaluando

Simplificando

simplificando

Resultado

Ejemplo 3 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de

Solución: Primeramente, realizaremos la gráfica de la función y ahí revisaremos cuales son los puntos de intersección entre las curvas. Tenemos que son dos áreas diferentes. Los límites de integración nos los dieron las gráficas de la función

Para calcular el área

Simplificando

Figura 1.3

Integrando

simplificando

Evaluando

Simplificando

Resultado

Para el la función de arriba ahora será el polinomio de grado tres.

simplificando

simplif icando

Integrando

Evalaundo

Simplificando

Simplificando

Simplificando

Por lo tanto, el área total será:

Resultado

Ejemplo 4 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de

Solución: Primeramente, realizaremos la gráfica de la función, veremos que lo más conveniente es integrar con respecto a ¨y´´

Simplificando

Figura 1.4

Simplificando

Integrando

Evaluando

Simplificando

Simplificando

Resultado

Resolveremos este ejercicio de otro modo, realizando la integral con respecto a ´´x´´

Despejando la variable ¨y¨ de la ecuación

Tendremos dos áreas, por lo tanto, el área total será:

Figura 1.4.2

Integrando

Evaluando

Ahora calcularemos el área

Simplificando

Simplificando

Integrando

Simplificando

Evaluando

Simplificando

Resultado

Por lo tanto, el Área total será:

Resultado Final

Ejemplo 5 Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de

Solución: Primeramente, realizaremos la gráfica de la función

Integrando con respecto a ´´y ´´, tendremos

Como la función es simétrica tendremos

Figura 1.5

simplificando

simplificando

Integrando

Simplificando

Evaluando

Resultado

De otra manera, el área se puede calcular con respecto a x´s. Esto será:

Como la función es simétrica tendremos que la integral es:

Figura 1.5.2

Integrando

Simplificnado

Evaluando

Simplificando

Resultado

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Espero que hayas disfrutado el subtema 3.1.2

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