Sustitución Trigonométrica

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

"Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza de la naturaleza. Si quieres apreciarla, es necesario aprender el lenguaje en el que habla" Richard Feynman

¡Vamos!

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Elaborado por Edwin Fernando Muñoz Ch.Docente Universidad Konrad Lorenz edwinf.munozc@konradlorenz.edu.co

¡Vamos!

¿Qué es la integración por sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica es un método de integración. En lugar de sustituir usando una nueva variable que es función de x (u=f(x)), se define a x como una función trigonométrica de una nueva variable (x=f(θ)).

El método consiste en:

Reescribir la ecuación en términos de la variable (θ) y su diferencial (dθ) Resolver la integral Reescribir el resultado en términos de x.

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

tangente

seno

secante

Puedes hacer un esquema Cuando resuelvas una integral, debes verificar que cumpla con la forma de la raíz.

El uso del triángulo es importante. te ayuda a entender más la integral.

Es impotante no confundir con la sustitución del seno, pues guardan similitud las raíces.

+ EJEMPLO

+ EJEMPLO

+ EJEMPLO

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS

• STEWART, JAMES, Cálculo de una variable. Cengage Learning.
• THOMAS, Cálculo una variable. Pearson.
• PISKUNOV, Cálculo diferencial e integral Tomo I. Mir Moscú. es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.

BIBLIOGRAFÍA

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Elaborado por Edwin Fernando Muñoz Ch. Docente Universidad Konrad Lorenz edwinf.munozc@konradlorenz.edu.co

índice

Ejemplo 3

Halle el área de la región entre el gráfico de

Podemos ver que el área es

y el eje x en el intervalo [3,5].

Para evaluar esta integral definida, sustituya x=3secθ y dx=3secθtanθdθ. También debemos cambiar los límites de la integración. Si x=3, entonces 3=3secθ y por lo tanto θ=0. Si x=5, entonces θ=sec−1(5/3). Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos

En primer lugar, dibuje un gráfico aproximado de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo 1

Reemplazando y simplificando, se llega a:

Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3senθ, tenemos dx=3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas.

Ejemplo 2

Comience con la sustitución x=tanθ y dx=sec2θdθ. Dado que tanθ=x.

Por lo tanto,