Sistema Diédrico: Generalidades. Punto, recta y plano.

Departamento de IngenieríaÁrea de Expresión Gráfica en la Ingeniería

Sistema Diédrico

Generalidades. El punto, la recta y el plano.

Contenidos

El plano

El punto

La recta

Introducción

Vista 3D

Generalidades:

• Se conoce como Sistema Diédrico, sistema de doble proyección o sistema de Monge.
• Se aplica una proyección cilíndrica y ortogonal sobre dos planos perpendiculares entre sí llamados plano horizontal (PH) y plano vertical (PV).
• La intersección de ambos planos se llama línea de tierra.
• El espacio queda dividido en 4 cuadrantes.
• El observador se sitúa en el primer cuadrante.

Introducción

Vista 3D

Generalidades:

• Al utilizar dos planos de proyección, si queremos representar una figura en un plano, tendremos que proyectar la figura sobre los planos de proyección y después girar, alrededor de la línea de tierra, uno de los planos hasta hacerlo coincidir con el otro.
• De esta manera, ambos planos quedan representados en uno solamente, en el que señalamos como referencia la LT.

Introducción

Vista 3D

Planos bisectores:

• Son aquellos que, conteniendo a la LT, dividen simétricamente a los cuatro cuadrantes.
• Se denominan primer y segundo bisector.
• Teniendo en cuenta los planos de proyección y los bisectores, el espacio queda dividido en 8 octantes.

El punto

Primer cuadrante:

• El punto A es un punto del primer cuadrante.
• El punto se proyecta de forma perpendicular a ambos planos de proyección. El resultado, una vez girado el plano vertical, muestra que el segmento que une ambas proyecciones debe ser perpendicular a la LT.
• La proyección vertical se denomina a' y la horizontal a.
• La cota es la distancia del punto al P.H. de proyección.
• El alejamiento es la distancia del punto al P.V. de proyección.

El punto

Primer cuadrante:

• En ocasiones, se utiliza un tercer plano de proyección, llamado de perfil (P), que es perpendicular a los planos horizontal y vertical de proyección.
• Este plano de perfil proporciona otro punto de vista del objeto.
• Haciendo la proyección sobre este plano, obtenemos su proyección, denominada a''.
• La representación de la proyección en el plano de perfil conservará el alejamiento y la cota respecto a los planos vertical y horizontal respectivamente.

El punto

Resto de cuadrantes:

• Los puntos situados en el primer cuadrante tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre de ella. Los puntos de este cuadrante y situados sobre el primer bisector tendrán igual cota que alejamiento.
• Los puntos situados en el semiplano horizontal anterior tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre la LT.
• Los puntos situados en el semiplano vertical superior tienen su proyección vertical por encima de la LT y la proyección horizontal sobre la LT.
• Segundo cuadrante: ambas proyecciones encima de la LT.
• Tercer cuadrante: proyección horizontal encima de la LT y vertical debajo.
• Cuarto cuadrante: ambas proyecciones debajo de la LT.

El punto

Resto cuadrantes:

• La representación en el perfil de puntos situados en el resto de cuadrantes se realiza de forma análoga, conservando el alejamiento y la cota del punto respecto al plano de perfil.

La recta

Representación:

• La proyección de una recta sobre un plano se obtiene uniendo las proyecciones de dos de los puntos de esa recta.
• Por tanto, en sistema diédrico, para representar una recta se unirán las proyecciones de dos de sus puntos.

La recta

Trazas de la recta:

• Se definen las trazas o puntos notables de una recta como los puntos de intersección de la misma con los planos de proyección y con los bisectores.

La recta

Trazas de la recta:

• Para hallar la traza horizontal de una recta en el Sistema Diédrico, se prolonga su proyección vertical hasta la LT, donde se encontrará h'. Por este punto se traza una perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección horizontal de la recta, obteniendo h.
• Para hallar la traza vertical de una recta en el Sistema Diédrico, se prolonga su proyección horizontal hasta la LT, donde estará v. Por este punto se traza una perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección vertical de la recta, obteniendo v'.
• Para hallar la traza de una recta con el primer bisector, se halla la simétrica de una de las proyecciones de la recta respecto a la LT, y su intersección con la otra proyección nos determina una de las proyecciones de la traza.
• La traza de una recta con el segundo bisector viene determinada por la intersección de sus proyecciones horizontal y vertical.

La recta

Partes vistas y ocultas:

• Puesto que el observador se sitúa en el primer cuadrante, solamente la parte de recta contenido en éste aparecerá como vista. El resto será oculto.

La recta

Partes vistas y ocultas:

• Puesto que el observador se sitúa en el primer cuadrante, solamente la parte de recta contenido en éste aparecerá como vista. El resto será oculto.

La recta

Partes vistas y ocultas:

• Puesto que el observador se sitúa en el primer cuadrante, solamente la parte de recta contenido en éste aparecerá como vista. El resto será oculto.

Alfabeto de la recta

Rectas situadas en el plano horizontal:

• Cualquier recta R de estas características tendrá la proyección horizontal confundida con ella misma y la vertical sobre la LT.
• La recta S es paralela a la LT y tiene su proyección horizontal paralela a la LT.
• La recta T es perpendicular a la LT y tiene su proyección vertical como un punto.
• La proyección horizontal de estas rectas se verá en verdadera magnitud.

Alfabeto de la recta:

Rectas horizontales o paralelas al plano horizontal:

• Se caracterizan por tener todos sus puntos con la misma cota, y en consecuencia sus proyecciones verticales son paralelas a la LT.
• Cualquier recta situada en el plano horizontal de proyección o en otro paralelo a él, se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud.
• La Recta T es una recta de punta o perpendicular al plano vertical.

Alfabeto de la recta

Rectas paralela a la LT:

• Las proyecciones de una recta paralela a la LT son paralelas a su vez a la LT.
• Tanto la proyección vertical como horizontal se verán en verdadera magnitud.

Alfabeto de la recta

Rectas situadas en el plano vertical:

• Cualquier recta de estas características tendrá la proyección vertical confundida con ella misma y la horizontal sobre la LT.
• La proyección vertical se verá en verdadera magnitud.

Alfabeto de la recta

Rectas frontales o paralelas al plano vertical:

• Todos los puntos de una recta de este tipo tienen el mismo alejamiento y en consecuencia, sus proyecciones horizontales son paralelas a la LT.
• Cualquier recta situada en el plano vertical o en uno paralelo a él, se proyecta verticalmente en verdadera magnitud.
• La recta T es una recta de punta o perpendicular al plano horizontal.

Alfabeto de la recta

Rectas de perfil:

• Es toda aquella contenida en un plano perpendicular a la LT (plano de perfil).
• Sus proyecciones las tiene confundidas y perpendiculares a la LT.
• Si se quiere representar una recta de perfil proyectada sobre el diedro, será necesario definir dos puntos contenidos en ella.

Alfabeto de la recta

Recta que pasa por la LT:

• La traza vertical y horizontal están coinciden en un mismo punto de la LT.

Alfabeto de la recta

Recta situada en el primer bisector:

• Estas rectas pueden cortar o no a la LT.
• En el primer caso, será una recta que pasa por la LT y en la que las dos proyecciones son simétricas ya que los puntos del primer bisector tienen igual cota y alejamiento.
• En el segundo caso, será una recta paralela a la LT con la particularidad de que ambas distarán lo mismo a la LT para poder pertenecer al primer bisector.

Alfabeto de la recta

Recta situada en el segundo bisector:

• Estas rectas pueden cortar o no a la LT.
• Al pertenecer al segundo bisector, las proyecciones de cualquier punto de la recta apareceran confundidas ya que tienen igual cota que alejamiento pero con signo cambiado.

Alfabeto de la recta

Recta paralela al primer bisector:

• Al ser una recta paralela al primer bisector, no podemos encontar en el primer y tercer cuadrante ningún punto que tenga igual cota que alejamiento. Sin embargo, esto si podrá ocurrir en el segundo o cuarto cuadrante pero con signo cambiado.
• La condición que debe cumplir una recta R para ser paralela al primer bisector es que una de sus proyecciones ha de ser paralela a la simétrica de la otra respecto a la LT.

Alfabeto de la recta

Recta paralela al segundo bisector:

• La recta R pertenece al segundo bisector y, por tanto, tiene sus proyecciones confundidas.
• Una recta T paralela a R tendrá sus proyecciones paralelas a las de R, pero como no pertenece al segundo bisector, sus proyecciones no coincidirán.
• En el primer o tercer cuadrante podremos encontrar un punto con igual cota que alejamiento.
• En el segundo y cuarto cuadrante no podremos encontrar puntos con igual cota que alejamiento.

El punto sobre la recta

Condición:

• La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en una recta es que las proyecciones del punto estén contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

El punto sobre la recta

Condición:

• La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en una recta es que las proyecciones del punto estén contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.
• La excepción a esto lo constituyen las rectas paralelas al plano de perfil o rectas de perfil. Este es el único caso en el que se pueden encontrar puntos que tienen sus proyecciones sobre las de la recta y no pertenecen a ella. Para determinar si efectivamente el punto pertenece o no a la recta, se acude a la proyección de perfil. En este caso, además, la proyección del punto en el perfil tendría que caer sobre la proyección de la recta en el perfil.

Posición relativa de dos rectas

Rectas que se cortan:

• Si las rectas se cortan es porque tienen un punto en común.
• Si los puntos intersección de las proyecciones homónimas de dos rectas se encuentran alineados en dirección ortogonal a la LT, se puede asegurar que ambas rectas se cortan.

Posición relativa de dos rectas

Rectas que se cortan:

• Si una de las rectas es de perfil, en ese caso, el punto intersección (de las proyecciones) I deberá pertenecer a la recta de perfil.
• Esta comprobación deberá efectuarse en la vista de perfil. En el caso mostrado, se pone de manifiesto que el punto I no pertenece a la recta S y, por tanto, las rectas R y S no se cortan.

Posición relativa de dos rectas

Rectas paralelas:

• Para que dos rectas sean paralelas, las proyecciones homónimas deben ser paralelas.

El plano

Trazas de un plano:

• El plano se define a través de las intersecciones de éste con los planos horizontal y vertical de proyección.
• Estas intersecciones se llaman traza horizontal y traza vertical del plano.
• Ambas trazas concurren en un punto de la LT, salvo el caso de planos paralelos a la LT, en cuyo caso las trazas son paralelas a la LT.

El plano

Recta y punto situados en un plano:

• Para que una recta esté contenida en un plano es necesario que sus trazas estén sobre las trazas homónimas del plano.
• La inversa también es cierta: si un plano contiene a una recta, sus trazas pasan por las trazas homónimas de la recta.
• Para situar una recta R en un plano P, se tomará un punto H de la traza horizontal P del plano y otro V de la traza vertical P' y se unirá entre sí.
• Para situar un punto cualquiera en un plano basta con definir una recta situada en él y luego elegir uno de sus puntos.

El plano

Rectas particulares del plano:

• Recta horizontal de plano:
• Es una recta que pertenece a un plano y es paralela al horizontal de proyección.
• La recta R es una horizontal del plano P, su proyección horizontal r es paralela a la traza horizontal de P y su proyección vertical r’ es paralela a la LT, estando su traza vertical V contenida en la traza vertical P’ del plano.
• Las rectas horizontales de un plano pueden considerarse como el resultado de la intersección de dicho plano con planos horizontales de diferentes cotas.
• Una horizontal de plano se proyectará horizontalmente en verdadera magnitud.

El plano

Rectas particulares del plano:

• Recta frontal de plano:
• Es una recta que pertenece a un plano y es paralela al vertical de proyección.
• La recta R es una frontal del plano P, su proyección vertical r' es paralela a la traza vertical de P y su proyección horizontal r es paralela a la LT, estando su traza horizontal H contenida en la traza horizontal P del plano.
• Las rectas frontales de un plano pueden considerarse como el resultado de la intersección de dicho plano con planos verticales de diferentes alejamientos.
• Una frontal de plano se proyectará verticalmente en verdadera magnitud.

El plano

Rectas particulares del plano:

• Línea de máxima pendiente:
• Es una recta R, que está contenida en el plano P, y es perpendicular a su traza horizontal.
• Su proyección horizontal r es perpendicular a la traza horizontal del plano P.
• Se define la pendiente de una recta como la tangente del ángulo que forma esta recta con el plano horizontal.
• No existe ninguna recta del plano cuya pendiente sea mayor que la de su línea de máxima pendiente.
• La línea de máxima pendiente es el camino que seguirá una gota de agua cuando se deposita sobre el plano P.

El plano

Rectas particulares del plano:

• Línea de máxima inclinación:
• Es una recta R contenida en un plano P y perpendicular a su traza vertical P’.
• Su proyección vertical (r') es perpendicular a la traza vertical (P') del plano.
• La línea de máxima inclinación es la que forma mayor ángulo respecto al plano vertical de proyección.

Alfabeto del plano

Proyectante horizontal o perpendicular al plano horizontal:

• La traza vertical P' es perpendicular a la LT y la horizontal P puede tomar cualquier dirección.
• El plano P es proyectante horizontal ya que todos los elementos contenidos en él tendrán su proyección horizontal sobre la traza horizontal P.

Alfabeto del plano

Proyectante vertical o perpendicular al plano vertical:

• La traza horizontal P es perpendicular a la LT y la vertical P' puede tomar cualquier dirección.
• El plano P es proyectante vertical ya que todos los elementos contenidos en él tendrán su proyección vertical sobre la traza vertical P'.

Alfabeto del plano

Plano de perfil o perpendicular a la LT:

• Por ser perpendicular a la LT lo será también a los planos proyectantes.
• Sus trazas serán perpendiculares a la LT y se confundirán en una sola recta, donde se encontrarán las proyecciones de todos sus puntos.
• Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano de perfil.

Alfabeto del plano

Plano horizontal o paralelo al horizontal de proyección:

• Este tipo de plano no tiene traza horizontal al no cortar al horizontal de proyección.
• La traza vertical será siempre paralela a la LT pudiendo estar por encima o por debajo de ella.
• Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

Alfabeto del plano

Plano frontal o paralelo al vertical de proyección:

• Este tipo de plano no tiene traza vertical al no cortar al vertical de proyección.
• La traza horizontal será siempre paralela a la LT pudiendo estar por encima o por debajo de ella.
• Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano vertical.

Alfabeto del plano

Plano paralelo a la LT:

• Las dos trazas de un plano de este tipo son paralelas a la LT.
• todas las horizontales y frontales de plano serán paralelas a la LT.

Alfabeto del plano

Plano que pasa por la LT:

• El plano no queda determinado por sus trazas ya que éstas están confundidas con la LT.
• Se hace necesario un punto (A) del plano y dos trazos por debajo de la línea de tierra, simétricos a la línea que une las proyecciones de dicho punto.

Alfabeto del plano

Plano perpendicular a uno de los bisectores:

• El plano BCD es perpendicular al primer bisector ya que contiene a la recta BD que es perpendicular al primer bisector en el plano perfil. Puesto que las distancias OD y OB son iguales, también lo serán las distancias DC y DB y, por tanto, el ángulo que forman con la LT.
• Todo plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas simétricas respecto a la LT.

Alfabeto del plano

Plano perpendicular a uno de los bisectores:

• El plano BCD es perpendicular al primer bisector ya que contiene a la recta BD que es perpendicular al primer bisector en el plano perfil. Puesto que las distancias OD y OB son iguales, también lo serán las distancias DC y DB y, por tanto, el ángulo que forman con la LT.
• Todo plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas simétricas respecto a la LT.
• De forma similar, todo plano perpendicular al segundo bisector tiene sus trazas confundidas.

Alfabeto del plano

Plano perpendicular a bisector y paralelo a la LT:

• Si el plano es perpendicular al primer bisector y paralelo a la LT, sus trazas serán paralelas a la LT, equidistando de ella si es perpendicular al primer bisector.
• Si es perpendicular al segundo bisector y paralelo a la LT, sus trazas se confundirán en una sola.

Bibliografía

¡Lección aprendida!