TC1004B - Implementación del Internet de las Cosas
Ing. Karen Araceli Zuñiga Castillo
Álgebra booleana
- Se denomina así en honor a George Boole, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico.
- Está formada por un conjunto de variables B={0,1}. Es decir variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó 1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc.
- También está compuesta por los operadores (·) , (+) y (') los cuales se definen de la siguiente manera:
OPERADOR + OPERADOR OR OPERADOR · OPERADOR AND OPERADOR ' OPERADOR NOT
Binario a Decimal
Se múltiplica cada uno de los términos por potencias crecientes de 2 hacia la izquierda, y se realiza la suma de las operaciones.
Binario a decimal
Decimal a binario
Se divide el número del decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.Ejemplos:
Ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011 En sistema binario, 131 se escribe 10000011.
Decimal a binario
Forma Canónica (Minitérminos y Maxitérminos)
Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de miniterminos o como producto de maxiterminos y a estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica. En pocas palabras minitérminos es cuando nos vamos por Suma de Productos osea por los 1's y maxitérminos es por Producto de Suma osea por los 0's.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'BC
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
AB'C'
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
AB'C'
'F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
'F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
ab'cd
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
ab'cd
'F(z)= a'b'cd' + a'bc'd' + ab'c'd' + ab'cd' + ab'cd
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
'F(z)= a'b'cd' + a'bc'd' + ab'c'd' + ab'cd' + ab'cd
Propiedades y Teoremas
- Identidad/neutro: Si a cualquier variable le sumas 0 el resultado es la variable / Si a una variable la multiplicas por 1 el resultado es la variable.
- Complemento/Inverso: Si a una variable le sumas su inverso el resultado es 1, si le multiplicas su inverso es 0.
- Idempotencia: Si multiplicas o sumas una variable consigo misma el resultado es la variable.
- Nula/Dominación: Cualquier variable a la que le sumes 1 es 1 y si multiplicas una variable por 0 es 0.
Propiedades/Identidades
5. Innvolución/Doble complemento: Si negamos una variable dos veces, se elimina la negación. Entonces si tenemos una x=0 y la negamos una vez x’=1 y la negamos una segunda vez (x’)’=0.6. Conmutatividad: Ya sea que sumes o multipliques variables no importa el orden de los factores. 7. Asociatividad: Se pueden juntar términos en sumas y multiplicaciones (Con sus negaciones en su caso) de la manera más conveniente. Ósea puedes moverlos de la manera que mas te convenga como w(xy)z=(xy)(wz). 8. Distrivutiva: Si tienes una suma con una multiplicación, esta se coloca como la multiplicación de la suma de la variable que multiplica por una de la suma y la que multiplica por la otra variable de la suma. Si combinamos una multiplicación con una suma de variables. Multiplicas por cada termino de la suma
Propiedades/Identidades
9. Ley de Morgan: La negación de una suma es la multiplicación con sus variables complementadas y la negación de una multiplicación es la suma de sus variables complementadas.10. Absorción: si tenemos una variable y la sumamos con una multiplicación que contiene a la variable ó si la multiplicamos con una suma que contiene la variable, el resultado es la variable. 11. Simplificación: Si tenemos la variable y le sumamos la variable complementada en un producto el valor complementado se elimina.Ejemplo: x + x'y x · 1 + x'y (Identidad) x(1+ y) + x'y (nula) x + xy + x'y (distributiva) x + y(x+x') (complemento) x + y · 1 (identidad) x + y
Propiedades/Identidades
Compuertas Básicas
Simuladores: https://circuitverse.org/simulator https://logic.ly/demo/
Compuertas lógicas
Compuertas lógicas
Compuertas lógicas
La compuerta XOR u OR exclusiva es una puerta lógica que representa la función de la desigualdad, es decir, la salida es verdadera o 1, si las entradas son distintas, de lo contrario el resultado es falso o cero (0).
Compuertas lógicas
La compuerta XNOR es una puerta cuya función es la inversa de la puerta XOR, dicho de otra forma la salida de la compuerta XNOR es 1 (o tiene estado alto), cuando todas las entradas son ‘0’ o cuando todas las entradas son 1.
Compuertas lógicas
Ejemplos
F(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + xz
F(x,y,z) = x'y(z + z') + xz (Distributiva) F(x,y,z) = x'y(1) + xz (Complemento) F(x,y,z) = x'y +xz (Identidad) F(x,y) = y + (xy)’
F(x,y) = y + (x' + y') (Morgan) F(x,y) = y + (y' + x') (Commutativa) F(x,y) = (y + y') + x' (Asociativa) F(x,y) = 1 + x' (Complemento) F(x,y) = 1 (nulo)
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x'
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x'
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x' (xy)’ (x’+y) (1) (Complemento) (xy)’ (x’+y) (Identidad) (x'+y')(x'+y) (Morgan) x' + y'y (Distributiva) x' + 0 (Complemento) x' (Idempotencia)
Ejercicios
Demuestra que:A + A'B = A + B
Demuestra que:A + A'B = A + B
Ejemplos
simplifica a su término más simple la función del ejercicio anterior.
F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Ejercicios
Referencias
- https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
- https://weblab.deusto.es/olarex/cd/UD/Puertas%20logicas_ES_final/teoremas_y_postulados_del_lgebra_de_boole.html
- https://bookdown.org/alberto_brunete/intro_automatica/algebraboole.html
TC1004B_Clase_3 Álgebra booleana Compuertas Lógicas
Karen Araceli Zúñiga
Created on September 20, 2023
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TC1004B - Implementación del Internet de las Cosas
Ing. Karen Araceli Zuñiga Castillo
Álgebra booleana
OPERADOR + OPERADOR OR OPERADOR · OPERADOR AND OPERADOR ' OPERADOR NOT
Binario a Decimal
Se múltiplica cada uno de los términos por potencias crecientes de 2 hacia la izquierda, y se realiza la suma de las operaciones.
Binario a decimal
Decimal a binario
Se divide el número del decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.Ejemplos:
Ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011 En sistema binario, 131 se escribe 10000011.
Decimal a binario
Forma Canónica (Minitérminos y Maxitérminos)
Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de miniterminos o como producto de maxiterminos y a estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica. En pocas palabras minitérminos es cuando nos vamos por Suma de Productos osea por los 1's y maxitérminos es por Producto de Suma osea por los 0's.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'BC
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
AB'C'
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
A'B'C
A'B C
AB'C'
'F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Ejemplos
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
'F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
ab'cd
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
a'b'cd'
a'bc'd'
ab'c'd'
ab'cd'
ab'cd
'F(z)= a'b'cd' + a'bc'd' + ab'c'd' + ab'cd' + ab'cd
Encuentra la función canónica en minitérminos de la siguiente tabla de verdad, posteriormente genera el circuito lógico.
'F(z)= a'b'cd' + a'bc'd' + ab'c'd' + ab'cd' + ab'cd
Propiedades y Teoremas
Propiedades/Identidades
5. Innvolución/Doble complemento: Si negamos una variable dos veces, se elimina la negación. Entonces si tenemos una x=0 y la negamos una vez x’=1 y la negamos una segunda vez (x’)’=0.6. Conmutatividad: Ya sea que sumes o multipliques variables no importa el orden de los factores. 7. Asociatividad: Se pueden juntar términos en sumas y multiplicaciones (Con sus negaciones en su caso) de la manera más conveniente. Ósea puedes moverlos de la manera que mas te convenga como w(xy)z=(xy)(wz). 8. Distrivutiva: Si tienes una suma con una multiplicación, esta se coloca como la multiplicación de la suma de la variable que multiplica por una de la suma y la que multiplica por la otra variable de la suma. Si combinamos una multiplicación con una suma de variables. Multiplicas por cada termino de la suma
Propiedades/Identidades
9. Ley de Morgan: La negación de una suma es la multiplicación con sus variables complementadas y la negación de una multiplicación es la suma de sus variables complementadas.10. Absorción: si tenemos una variable y la sumamos con una multiplicación que contiene a la variable ó si la multiplicamos con una suma que contiene la variable, el resultado es la variable. 11. Simplificación: Si tenemos la variable y le sumamos la variable complementada en un producto el valor complementado se elimina.Ejemplo: x + x'y x · 1 + x'y (Identidad) x(1+ y) + x'y (nula) x + xy + x'y (distributiva) x + y(x+x') (complemento) x + y · 1 (identidad) x + y
Propiedades/Identidades
Compuertas Básicas
Simuladores: https://circuitverse.org/simulator https://logic.ly/demo/
Compuertas lógicas
Compuertas lógicas
Compuertas lógicas
La compuerta XOR u OR exclusiva es una puerta lógica que representa la función de la desigualdad, es decir, la salida es verdadera o 1, si las entradas son distintas, de lo contrario el resultado es falso o cero (0).
Compuertas lógicas
La compuerta XNOR es una puerta cuya función es la inversa de la puerta XOR, dicho de otra forma la salida de la compuerta XNOR es 1 (o tiene estado alto), cuando todas las entradas son ‘0’ o cuando todas las entradas son 1.
Compuertas lógicas
Ejemplos
F(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + xz F(x,y,z) = x'y(z + z') + xz (Distributiva) F(x,y,z) = x'y(1) + xz (Complemento) F(x,y,z) = x'y +xz (Identidad) F(x,y) = y + (xy)’ F(x,y) = y + (x' + y') (Morgan) F(x,y) = y + (y' + x') (Commutativa) F(x,y) = (y + y') + x' (Asociativa) F(x,y) = 1 + x' (Complemento) F(x,y) = 1 (nulo)
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x'
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x'
Ejercicio
F(x,y) = (xy)’ (x’+y) (y’+y)Resultado: F(x,y) = x' (xy)’ (x’+y) (1) (Complemento) (xy)’ (x’+y) (Identidad) (x'+y')(x'+y) (Morgan) x' + y'y (Distributiva) x' + 0 (Complemento) x' (Idempotencia)
Ejercicios
Demuestra que:A + A'B = A + B
Demuestra que:A + A'B = A + B
Ejemplos
simplifica a su término más simple la función del ejercicio anterior.
F(Y)= A'B'C + A'BC + AB'C'
Ejercicios
Referencias