CADENAS DE MARKOV

CADENAS DE MARKOV

Nazario Casimiro EdgarIngenieria Civil Investigacion de Operaciones ll

¿que son?

La cadena de Markov, también conocida como modelo de Markov o proceso de Markov, es un concepto desarrollado dentro de la teoría de la probabilidad y la estadística que establece una fuerte dependencia entre un evento y otro suceso anterior. Su principal utilidad es el análisis del comportamiento de procesos estocásticos.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria, "Recuerdan" el ultimo evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

CARACTERISTICAS PRINCIPALES

a) Modelos deterministas. Estiman la condición mediante un valor preciso, calculado con funciones matemáticas que relacionan de una u otra forma un indicador de deterioro con un conjunto de variables explicativas. Forman parte de esta clase los modelos puramente mecanicistas, los de regresión y los empírico-mecanicistas. b) Modelos probabilísticos. El estado futuro de la carretera se estima como una función de probabilidad del rango de posibles estados que podrían presentarse. Se pueden utilizar dos tipos de funciones de probabilidad: i) Función continua. Expresa la probabilidad de que un índice de estado sea mayor que un valor dado en relación con la edad del pavimento. Este tipo de función se conoce como “curva de supervivencia”. ii) Función discreta. Conocida también como “función markoviana”, debido a que se basa en el concepto de “cadenas de Markov”, esta función divide el espacio de todas las condiciones posibles en una serie de “estados de condición”.

¿DONDE SE APLICAN?

En ingeniería de carreteras, las cadenas de Markov se han aplicado principalmente en el desarrollo de modelos probabilísticos para estimar el deterioro de pavimentos y de otros activos viales. Estas aplicaciones han sido recurrentes en los Estados Unidos de América y en otros países desarrollados, sin embargo, en México no parece haber experiencia alguna al respecto.

Física Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y la física estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusión de Laplace. Meteorología Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatológicos básicos. Modelos epidemiológicos Una importante aplicación de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias).

Internet El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda) se define a través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena. Simulación Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una solución analítica a ciertos problemas de simulación tales como el Modelo M/M/1. 3 Juegos de azar Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.

¿ CUAL ES EL OBJETIVO DE APLICACION?

Una cadena o modelo de Markov es una herramienta que sirve para analizar procesos en donde una sucesión de variables aleatorias evolucionan en función de otra variable. Así, estas variables o el conjunto de ellas, las cuales originan efectos aleatorios, reciben el nombre de proceso estocástico.

¿COMO SE USA?

Las cadenas de Markov tienen numerosas aplicaciones como modelos mensurables de procesos mundiales genuinos, por ejemplo, considerando marcos de control de viaje en vehículos de motor, líneas o líneas de clientes que aterrizan en una terminal aérea, ritmos comerciales de normas monetarias, marcos de almacenamiento, por ejemplo, presas, y desarrollos de población de ciertas especies de criaturas. El cálculo conocido como PageRank, que se propuso inicialmente para la herramienta de búsqueda de la web Google, depende de un proceso de Markov.

EJEMPLO

En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes?

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HIPÓTESIS

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