Ripasso - classe 2 - seconda lezione

RIPASSOLEZIONE 2

prof.ssa Katuscia Palmili

seconda lezione: I POLINOMI

- elementi caratteristici di un polinomio; - operazioni con i polinonomi: somma e differenza, prodotto monomio per polinomio e tra due polinomi, divisione tra un polinomio e un monomio; - prodotti notevoli: somma per differenza, quadrato del binomio, cubo del binomio - scomposizioni

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polinomio

Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi.

ESEMPIO 3x2+2x-4 è un polinomio in forma NORMALE perché non compaiono monomi simili

continua

polinomio

Un polinomio è in forma normale se lo sono i suoi termini e se fra essi non ci sono monomi simili.

ESEMPIO 2 5x2+2x-3x2+4x non è in forma NORMALEperché compaiono monomi simili

individuo i monomi simili 5x2+2x-3x2+4x eseguo la somma algebrica 2x2+6x

continua

NOMENCLATURA

Un polinomio ridotto in forma normale si dice

• nullo se tutti i suoi termini hanno coefficienti nulli 0x+0x2y+0y

• binomio se è formato da due termini 3a+2b

• trinomio se è formato da tre termini 3a+2b+c

• quadrinomio se è formato da quattro termini 3a+2b+c-4

Non si danno nomi particolari a polinomi con più di quattro termini.

grado rispetto ad una lettera

grado

osservazione

Il grado (o grado complessivo) di un polinomio è il massimo dei gradi dei monomi che lo formano

Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il massimo grado con cui essa compare nel polinomio ridotto in forma normale.

Il termine di grado zero di un polinomio, ossia quello in cui non compare nessuna lettera, viene detto termine noto.

polinomio ordinato

polinomio omogeneo

polinomio completo

Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se, leggendo il polinomio da sinistra verso destra, i suoi termini sono disposti con esponenti di quella lettera in ordine crescente o decrescente

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se questa compare con tutti gli esponenti dal grado massimo al grado zero.

Un polinomio è omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

polinomio omogeneo

Il polinomio 3x4y2+7x2y-xy5 èORDINATO rispettoalla x e NON ORDIANTO rispeto alla y

polinomio non omogeneo

NOTAZIONE

Un polinomio è un’espressione algebrica e, come tale, se ne può calcolare il valore numerico una volta che siano stati attribuiti dei valori alle lettere. Con riferimento agli esempi precedenti possiamo calcolare

I polinomi si indicano con le lettere maiuscole A, B, C, P, Q

Quando si vogliono specificare le lettere da cui dipende un polinomio, si fanno seguire al nome del polinomio tutte le lettere in esso contenute racchiuse tra parentesi tonde.

Ad esempio:A(x) = 2x5 + 3x2 - 1 B(x, y) = x2y3+2x2+3xy-y2

ZERI

Un numero che sostituito a posto della variabile (lettera) rende il polinomio uguale a zero si dice zero del polinomio.

se consideriamo l'esempio precedente veidamo che -1 è uno zero del polinomio A(x), infatti:

continua

OPERAZIONI

SOMMA ALGEBRICA

Per sommare due polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi che si stanno sommando. Il polinomio ottenuto si riduce a forma normale sommando i monomi simili.

Attenzione un segno meno fuori dalla parentesi cambia il segno a tutti i termini dentro la parentesi ESEMPIO:

MOLTIPLICAZIONE monomio*polinomio

Per calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio si moltiplica ogni termine del polinomio per il monomio e si sommano algebricamente i termini ottenuti. ESEMPIO

MOLTIPLICAZIONE polinomio*polinomio

Per calcolare il prodotto tra polinomi si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo e si sommano algebricamente i termini ottenuti. ESEMPIO

DIVISIONE polinomio/monomio

Per calcolare il quoziente di un polinomio per un monomio si divide ogni termine del polinomio per il monomio e si sommano algebricamente i termini ottenuti. ATTENZIONE: un polinomio è divisibile per un monomio se lo sono tutti i suoi termini

ESEMPIO

prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono delle particolari moltiplicazioni tra polinomi che si incontrano frequentemente e che si possono calcolare in modo rapido con alcune semplici regole.

In pratica, possiamo definirli SCORCIATOIE

PRODOTTI NOTEVOLI che studieremo:

1. somma per differenza
2. quadrato di un binomio
3. cubo di un binomio

SOMMA PER DIFFERENZA

Il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza è uguale alla differenza tra i due quadrati

(A+B)(A-B)=A2-B2

CALCOLIAMO INSIEME: (2x + y)(2x - y)= (x - xy)(-x - xy)=

I DUE BINOMI CHE MOLTIPLICHIAMO DIFFERISCONO SOLO PER UN SEGNO

SOMMA PER DIFFERENZA

La relazione che abbiamo scritto prima vale anche al contrario:

A2-B2=(A+B)(A-B)

Possiamo riscrivere la differenza tra due quadrati come il prodotto della somma per la differenza delle basi

CALCOLIAMO INSIEME: 4x2-9 = (2x+3)(2x-3) perché 4x2 è il quadrato di 2x e 9 è il quadrato di 3

SCOMPOSIZIONE

Abbiamo appena visto la nostra prima scomposizione. Cosa significa scomporre un polinomio?

SCOMPORRE UN POLINOMIO IN FATTORI vuol dire esprimere quel polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore

QUADRATO DEL BINOMIO

Quadrato del binomio

Il quadrato di un binomio è un trinomio che si ottiene sommando algebricamente il quadrato di ciascuno dei due termini ed il loro doppio prodotto.

(a+b)2 =a +2ab +b2

OSSERVAZION I

• I due quadrati a2 e b2 sono sempre positivi
• Il doppio prodotto 2ab è positivo se a e b sono concordi, è negativo se sono discordi

ESEMPIO (2x3+3y)2 = =(2x3)2 + 2(2x3)(3y) + (3y)2 = = 4x6 + 12x3y + 9y2

continua

QUADRATO DEL BINOMIO

MI RACCOMANDO: NON DIMENTICATEVI IL DOPPIO PRODOTTO!

continua

QUADRATO DEL BINOMIO

Anche questa relazione può essere letta al contrario:

a2+2ab+b2 = (a+b)2

COME DEVO FARE?

1. riconosco i due quadrati 2. verifico che il terzo termine è il doppio prodotto delle loro basi

QUADRATO DEL BINOMIO

4x2+12xy+9y2 = (2x+3y)2

1 . osserviamo 4x2+ 9y2 + 12xy e notiamo che: 4x2 è il quadrato di 2x e che 9y2 è il quadrato di 3y 2. calcoliamo 2*2x*3y e verifichaimo che è proprio uguale a 12xy

QUADRATO DEL BINOMIO

9x2-6x+1 = (3x-1)2 = (1-3x)2

1 . osserviamo 9x2 - 6x + 1 e notiamo che: 9x2 è il quadrato di 3x e che 1 è il quadrato di 1 2. calcoliamo 2*3x*1 e verifichaimo che è proprio uguale a 6x

NOTA: se il doppio prodotto ha segno negativo, nel binomio compare un segno meno -

CUBO DEL BINOMIO

(a+b)3 =a3+3a2b +3ab2 + b3

Il cubo di un binomio è un quadrinomio formato dalla somma del cubo del primo termine, con il cubo del secondo termine, con il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, con il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo.

ESEMPIO

CUBO DEL BINOMIO

METODO FURBO:

Per calcolare in maniera semplice i tripli prodotti possiamo calcolare il quadrato di A e quello di B scrivendoli sotto ai rispettivi termini. Si tracciano le diagonali e si inserisce un fattore 3 nel punto d’incontro di queste.

Moltiplicando i fattori che si trovano sulla prima diagonale e poi quelli sulla seconda, si trovano proprio i due tripli prodotti.

CUBO DEL BINOMIO

ESEMPIO

Quando calcolate il cubo del binomio, fate attenzione ai segni!

Goals

Goals

Goals

Goals

Goals

Goals

Goals

Goals

video

prodotti notevoli

Questo prof è più bravo di me? Fatemelo sapere

qualche esercizio svolto

video

Se hai bisogno di riascoltare le spiegazioni, guarda il video:

game

Esercitati con questi giochi, poi svogli gli eserci delle slide e quelli dei compiti. Più ne farai, maggiore sarà la possibilità di superare l'esame!

alcune attività per imparare divertendoti

quiz 1

giochi vari

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