PRESENTACIÓN_COMPETENCIA 1

PRESENTACIÓN

COMPETENCIA 1

PRESENTACIÓN

Aplica las propiedades de los números reales, desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita, así como desigualdades con valor absoluto para representar las soluciones en forma gráfica y analítica.

PRESENTACIÓN LOREM IPSUM DOLOR

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Índice

Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita.

Intervalos y su representación gráfica.

Propiedades de las desigualdades.

Valor absoluto y sus propiedades.

Axiomas de los números reales.

Los números reales

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Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto

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NUMEROS REALES

• Numeros naturales: Sonpositivos sin contemplar el cero y que se representan con la letra "N"
• Número Enteros (Z): Se definen como un número que no tiene parte fraccionaria (o decimal),está formado por el conjunto de los números positivos y negativos, incluyendo el cero.
• Números Racionales (Q): Se definen como aquellos números que pueden ser expresados por la división de dos enteros.
• Número Irracionales (I): Son aquellos números que no se pueden escribir como la división de dos enteros.

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axiomas

• Axiomas de la adición: Sea un operador llamada suma simbolizado por “+” y definido sobre los números reales R, entonces, decimos que la suma es una ley de composición interna u operación interna+:R×R→R

• Axiomas de la multiplicación: Sea un operador llamada multiplicación simbolizado por “” (si, un punto) y definido sobre los números reales R, entonces decimos que la multiplicación es una ley de composición interna u operación interna⋅:R×R→R
• Axioma de la distribución respecto a la suma: Este axioma es muy usado para demostrar las propiedades de productos notables.

• Axioma de igualdad: Estos axiomas son, en otro ámbito, definiciones en la sección de relaciones binarias, pero cuando digo “definiciones “, significa que las relaciones binarias no siempre cumplen estas propiedades

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INTERVALOS Y REPRESENTACION GRAFICA

¿Qué son los intervalos? Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b . También puede llamarse subconjunto de la recta real.

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Tipos de intervalos

INTERVALO CERRADO

INTERVALO ABIERTO

Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido,pero sí todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión del tipo a<x<bó(a;b).Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1;5), tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.

Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre estos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a;b].Por ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1;5], tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.

Tipos de intervalos

INTERVALO INFINITO

INTERVALO SEMIABIERTO

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye tan solo uno de los extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el otro extremo queda excluido. Pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho como el izquierdo. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a;b) ó (a;b]. Por ejemplo, si tenemos el intervalo semiabierto [1;5), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores a 5. Incluyendo el 1 pero no el 5.

Un intervalo infinito es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además pueden contener intervalos cerrados, como [a; ∞). Por ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 en adelante.

Valor absoluto y sus propiedades

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica. El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número. El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.

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PROPIEDADES

Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado. | xy| = | x | | y |

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa. | x | = 0 x = 0

Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo. | - x | = x

Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números. | x + y| = | x | + | y |

Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor. | x – y | x = y

Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.

DESIGUALDADES Y LA FORMA EN QUE SE RESUELVEN DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO

La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.

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Desigualdad de primer grado

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador. Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador. Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Para resolver desigualdades, es decir, para encontrar los valores para los cuales es cierta la desigualdad se aplican los mismos criterios que para resolver igualdades (despeje de la variable). La única diferencia es que los resultados son un conjunto de soluciones, este conjunto de soluciones se puede representar como un intervalo o como una gráfica.

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DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO

Una desigualdad de segundo grado en la variable x en su forma simple es ax2 + bx + c < 0, la expresión también es válida para los símbolos >,≤,≥.La solución de una desigualdad de segundo grado tiene tres casos de solución: Dos raíces reales Una raíz real Raíces complejas

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO