TEMAS

TEMAS DE LA COMPETENCIA 1

Índice

6. Resolucion de desigualdades de primer y segundo grado con una incognita

1. Los numeros reales

2. Axiomas de los numeros reales

7. Resolucion de desigualdades que incluyan valorabsoluto

3. Intervalos y su representacion grafica

4. Valor absoluto y sus propiedades

5. Propiedades de las desigualdades

1.1 LOS NUMEROS REALES

• Números naturales Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral). Expresión- N
• Números Enteros Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos. Expresión-Z
• Números racioales Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Expresión-Q
• Números Irracionales Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.

EJEMPLOS:

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. Cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Esquema de los números reales En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.

Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

1.2

4. (Inversos Aditivos) Para todos a∈R Existe −a∈R Tal que a+(−a)=0; 5. (Asociatividad para la Multiplicación) Por todo a,b,c∈R Lo que tenemos (ab)c=a(bc) ; 6. (Identidad Multiplicativa) Existe 1∈R Tal que 1≠0 y para todos a∈R 1ª=a;7. (Identidad Multiplicativa) Existe 1∈R Tal que 1≠0 Y para todos a∈R, 1ª=a ;

Las axiomas en los números reales se clasifican en:

• Axiomas de campo: Estos axiomas proporcionan las propiedades esenciales de la aritmética que implica suma y resta.
• Orden Axiomas: Estos axiomas proporcionan las propiedades necesarias de las desigualdades.
• Axioma de integridad: Este axioma asegura que la línea numérica familiar que usamos para modelar los números reales no tenga ningún agujero en ella

Operaciones + (suma) y ⋅multiplicación) sobre R y formulas 1. (Asociatividad para la Adición) Por todo a,b,c∈R Lo que tenemos (a+b)+c=a+(b+c) 2. (Conmutatividad para la Adición) Para todos a,b∈R. Tenemos a+b=b+a ; 3. (Identidad Aditiva) Existe 0∈R Tal que para todos a∈R , 0+a=a; 4. (Inversos Aditivos) Para todos a∈R Existe −a∈R Tal que a+(−a)=0;

INTERVALOS Y SU REPRESENTACION

1.3

El intervalo, en matemáticas, es un subconjunto de números reales que se encuentran entre dos valores que delimitan un extremo inferior y/u otro superior.

a y b (extremos del intervalo). Representan una porción de la recta real.

• TIPO DE INTERVALOS °
• Intervalo abierto: Es el conjunto de los números reales entre a y b, sin incluir sus extremos (a, b)
• Intervalo cerrado: Conjunto de números reales entre a y b incluyendo sus extremos. [a, b]
• Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha): Es el conjunto de los numeros reales formados por la b y los números comprendidos entre a y b (a,b]
• Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda): Conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b [a,b)
• Intervalos innitos: Son todos los números mayores que a. (a,∞) ° R= (-∞,+∞)

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

1.4

Es el valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. El valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|. También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.

• Preservación de la división: el valor absoluto que resulta de una división es igual al cociente de los valores absolutos de los elementos que la componen. |x / y| = |x| / |y|.

PROPIEDAES

• Como el valor absoluto expresa una distancia este no tiene signo, por lo tanto; siempre es un valor positivo.
• El módulo de cualquier entero \mathbb{Z}, serán los números reales \mathbb{R}, sin importar el signo que tenga.
• No negatividad: el valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero. |x| ≥ 0.
• Simetría: el módulo de un número negativo es igual al módulo de un número positivo. |-x| = |x|.
• Subaditividad: el valor absoluto de una sumatoria es menor o igual que la sumatoria de cada uno de los valores absolutos de los sumandos. |x + y| ≤ |x| + |y|.
• Multiplicatividad: el valor absoluto de un producto es igual al producto de los factores

x Ö y| = |x| Ö |y|.

1.5 PROPIEDADES DE LA DESIGUALDADES

Las desigualdades matemáticas es aquella proposicion que relaciona do expresiones algebraicas cuyos valores son distintos y están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9.

PROPIEDADES: 1.- Propiedad transitiva: Si a > b y b > c entonces a > c 2.- Propiedad aditiva y sustractiva Si a < b entonces a + c < b + c Si a < b entonces a c < b c 3.- Propiedad multiplicativa y divisoria Si c es positivo: a < b entonces a*c < b*c a < b entonces a/c < b/c Si c es negativo: a < b entonces a*c > b*c a < b entonces a/c > b/c 4.- Propiedad del opuesto Si a < b entonces a > -b Si a > b entonces a < -b 5.- Propiedad de reciproco Si a y b con diferentes de cero y ambos tienen el mismo signo: Si a < b entonces 1/a > 1/b Si a > b entonces 1/a < 1/b Si a y b tienen diferentes signos: Si a < b entonces 1/a < 1/b Si a > b entonces 1/a > 1 /b

DESIGUALDADES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

1.6

SEGUNDO GRADO: Es una inecuación en donde encontramos números, una variable que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad.

PRIMER GRADO: Son ecuaciones con una inc´ognita cuando aparece una sola letra (incognita, normalmente la x). Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no esta elevada a ninguna potencia (por tanto a 1). Resolver una desigualdad de primer grado: 1. Quitamos parentesis. 2. Quitamos denominadores. 3. Agrupamos los terminos en a un lado de la desigualdad y los t´erminos independientes en el otro. 4. Efectuamos las operaciones. 5. Si el coeficiente de la es negativo multiplicamos por , por lo que cambiara el sentido de la desigualdad. 6. Despejamos la incognita.

La solucion de una desigualdad de segundo grado puede ser de 2 formas, con formula general y factorizacion:Por Formula, tiene el signo de una desigualdad (<) y, ademas, la incognita aparece una vez elevada al cuadrado. 1. Operar con los terminos hasta obtener solamente un termino cuadratico, un termino lineal y un termino independiente. 2. Aplicar la formula general para hallar dos valores y Dividir la recta numerica con los valores calculados. 3. Evaluar un valor de cada tramo que cumplen con la desigualdad. Por factorizacion, Primero se iguala a 0 Encontramos valores Igualamos a Factor y se obtienen raices.

RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

1.72

Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.

Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad.

Si el valor absoluto de la variable es menor que el término constante, entonces la gráfica resultante será un segmento entre dos puntos. Si el valor absoluto de la variable es mayor que el término constante, entonces la gráfica resultante consistirá en dos rayos apuntando al infinito en direcciones opuestas.

TEMAS DE LA COMPETENCIA 2

Índice

2.1 Definicion ce variable, funcion, dominio y rango

2.6 Funciones escalonadas

2.2 Funcion real de variable real y su representacion

2.7 Operaciones con funciones: adicion, multiplicacion, division y composicion

2.3 Funcion inyectiva, biyectiva y suprayectiva.

2.8 Funcion inversa

2.4 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales

2.9 Funcion implicita

2.5 Funciones trascendentes: trigonometricas, logaritmicas y exponenciales

2.10 Otro tipo de funciones

2.1

Definición de variable, función, dominio y rango.

VARIABLE: Es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible. FUNCION: Se utiliza para sugerir una relación o una dependencia de una cantidad con respecto a otra. tienen una variable independiente que por lo general se simboliza con x y una variable dependiente y, ya que esta variable toma el valor elegido por la variable independiente.

2.1

Definición de variable, función, dominio y rango.

Dominio de una función es el conjunto de números que cumplen la sustitución (tabulación) de una regla de correspondencia f(x)=y; este conjunto llamado dominio está ubicado en el eje “x” (ordenadas). Se expresa de la siguiente forma: Domf o Df

Rango de una función es el conjunto de números que dependen de la sustitución (tabulación) de los valores que puede tomar “x”, es decir, del dominio. Este conjunto de números es llamado “rango” y está ubicado en eje “y” (abcisas). Se expresa de la siguiente forma: Ranf o Rf

2.2

Función real de variable real y su representación gráfica.

Se define una función real de variable real, o simplemente función real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x ∈ R otro número real y ∈ R a través de una regla de transformación f(x).

Una función real de variable real está constituida por pares ordenados de elementos de ℝ, en la forma (x,f(x)). Dichos pares pueden ser representados sobre un sistema de ejes cartesianos mediante puntos P(x,y), con y=f(x). Sigue los siguientes pasos: 1. Elige el intervalo de valores del dominio que vas a representar. Por ejemplo, 2. Decide el número de puntos que vas a representar. La cantidad de puntos que podrías representar es ilimitada, así que cuantos más puntos decidas representar, más precisa será la representación 3. Elabora una tabla de valores con los puntos que vas a representar. La coordenada x de cada punto, debe pertenecer al dominio. Los puntos estarán situados de manera equiespaciada. La coordenada y de cada punto se obtiene como la imagen de los valores de x anteriores, aplicando la definición de la propia función.

2.3

Función inyectiva

La función inyectiva es cuando cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida. Otra definición es que una función f: A-B es inyectiva, si no existen dos elementos de A (conjunto de llegada como una misma imagen)

Función suprayectiva

2.3

Una función sobreyectiva (o su proyectiva) es una función tal que todos los elementos del conjunto final "y" tienen al menos un elemento del conjunto inicial "x" al que le corresponde. Es decir, una funciones sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final "y" Dicho de manera una función Es sobre su proyectiva cuando son iguales su condominio y su recorrido o Rango

Función biyectiva

2.3

Una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada, y cada elemento de conjunto de llegada corresponde a un elemento del conjunto de partida. Digamos que no se puede quedar sin ningún elemento en el conjunto final y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial x

2.4

Funciones algebraicas: polinomiales y racionales

Funciones Polinomiales

Una función polinómica es una función definida por una expresión con al menos un término algebraica.Una función racional es cualquier función que pueda escribirse como la relación de dos funciones polinómicas.Funciones Polinomiales: Una función polinomial está definida como. f(x) = a.x2 + b.x + c. Son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos.

• Cada una de estas expresiones está multiplicada por coeficientes.
• Los términos en los polinomios se suman o restan en una serie.

Los polinomios, como todas las funciones, se pueden representar con una gráfica. Estas gráficas dependen del grado del polinomio. -El polinomio tiene tres raíces, ya que corta al eje X en tres puntos, que son R1, R2 y R3. -Se detectan dos extremos, E1 y E2, que son puntos en los que la función cambia su crecimiento (es decir, pasa de crecer a decrecer, o de decrecer a crecer). -La rama de la izquierda continúa indefinidamente hacia abajo, mientras que la de la derecha lo hace hacia arriba

2.4

Funciones algebraicas: polinomiales y racionales

Funciones racionales

Una función racional es aquella función formada por el cociente de dos polinomios, es decir, una función racional es una fracción que tiene un polinomio en el numerador y en el denominador. Las funciones racionales se caracterizan por tener singularidades en aquellos puntos en los que se anula el denominador. Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador. A diferencia de las funciones polinómicas cuyo dominio son todos los números reales , las funciones racionales están definidas en todos los valores X donde el denominador q(x)=/, es decir:

• Dominio

Como no existe la división en cero, el dominio de toda función racional está comprendido por todos los reales que no anulen el denominador. Por ejemplo: el dominio de f serán todos los reales menos el cero, es decir: Dom f = IR - {0} el dominio de g serán todos los reales menos (-1), es decir: Dom g = IR - {-1} Para determinar el dominio de una función racional, debemos averiguar que valores anulan denominador, para ello igualamos el denominador a cero Determinar el dominio de h: Igualamos el denominador a cero y despejamos x

Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

2.5

TRIGONOMÉTRICAS: Son donde la variable independiente 0 se refiere a la medida de un ángulo. LOGARÍTMICAS: Es aquella que genéricamente se expresa como f(x) =logax siendo la base de la función positiv. EXPONENCIALES: Representa la relación entre una entrada y salida donde multiplicamos valor inicial para obtener salida

2.6

Funciones escalonadas

La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.La gráfica de esta función escalonada tiene tres peldaños o intervalos escalonados, pero en general la función escalonada puede tener cualquier cantidad de escalones. La anchura de los escalones puede ser diferente y no siempre la escalera es ascendente o descendente.

Características de la función escalonada

• La función recibe su nombre por la gráfica en forma de escalones, dados por los segmentos que la componen. Cada segmento tiene una parte del dominio de la función y en cada uno, la función es constante.
• El dominio de una función escalonada son los valores que pertenecen al intervalo para el cual se la define: [a, b], mientras que el rango lo constituyen los valores si de las alturas de los escalones.
• Una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.

Operaciones con funciones: adición, multiplicación, división y composición

2.7

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. Además, se define la composición de funciones.

2.8

Función inversa.

Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función. No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiv

2.9

Función implícita

Se denomina función implícita a aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma: f(x, y)=0

2.10

OTRAS FUNCIONES

Otras funciones

• Coseno: El coseno es una función par y continua con periodo, además una función trascendente.
• Seno:el seno es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también funciones circulares; es una función real e impar cuyo dominio es y cuyo codominio es el intervalo cerrado.

TEMAS DE LA COMPETENCIA 3

Índice

3.1 Noción de límite

3.6 Límites infinitos y límites al infinito

3.2 Definición de límite de un función

3.7 Asíntotas

3.8 Continuidad en un punto y en un intervalo

3.3 Propiedades de los limites

3.9 Tipos de discontinuidades

3.4 Cálculo de lÍmites

3.5 Límites laterales

NOTACION DE LIMITE

3.1

Este concepto involucra el entender el comportamiento de una función cuando la variable independiente está “muy cerca” de un número “a”

Se dice que “L” es el límite de la función “f(x)” cuando la variable “x” tiende al valor “a”, si la diferencia entre “f(x)” y “L” puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir los valores que toma “x” a estar lo suficientemente cerca del valor “a”.

DEFINION DE LIMITE DE UNA FUNCION

3.2

El límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la función cuando x se acerca a ese punto.

El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

3.3

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

CALCULO DE LIMITES

3.4

Cálculo de límites de una función. Cuando hablamos de cálculo de límites de funciones es importante entender los distintos métodos que existen para su resolución. Debemos saber qué tipo de función estamos trabajando y cómo aplicar los procesos necesarios para su cálculo. Es fundamental prestar atención a las formas indeterminadas y tener en cuenta los límites laterales en caso de anulación del denominador.

LIMITES LATERALES

3.5

LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la DERECHA, si al tomar valores de x estrictamente MAYORES que a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número LLIMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la IZQUIERDA, si al tomar valores de x estrictamente MENORES que a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número L Si el límite por la izquierda y derecha de ese punto no tienen el mismo valor, podríamos decir que el límite no existe, por lo tanto, los límites laterales son una forma de comprobar su existencia. De forma similar al teorema que vimos para los límites, existe una relación entre el límite lateral de una función y el límite de una sucesión, basta agregar a los supuestos la condición de que la sucesión sea mayor que X0 para todo n E N

LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO

3.6

LIMITES INFINITOEl límite de una función f(x) al infinito es el número al que se acercan los valores de la función cuando la variable x tiende a +∞ o a −∞

El límite de una función cuando x tiende a infinito, ya sea positivo o negativo, puede ser un valor real, más infinito, menos infinito o no existir. Para resolver límites al infinito, se debe sustituir la x por infinito.

LIMITES AL INFINITOLos límites en el infinito no siempre serán tan fáciles de calcular, ya que en ocasiones obtendremos la indeterminación infinito entre infinito o la indeterminación infinito menos infinito. Cuando obtenemos estos tipos de indeterminaciones (o formas indeterminadas) no podemos saber el resultado directamente, sino que debemos hacer un procedimiento previo para hallar el valor de límite. A continuación vamos a ver cómo se resuelven los límites indeterminados al infinito.

En 1, forma de las funciones logarítmicas cuando la base es mayor que 1. A la derecha, el caso de las funciones logarítmicas con base entre 0 y 1

ASINTOTAS

3.7

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla. Tipos de asíntotas La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. Tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas. Como ves, gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin). En este apartado aprenderemos a calcular:

• Las asíntotas verticales
• Las asíntotas horizontales
• Las asíntotas oblicuas
• Asíntotas verticales

Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple: -K: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k -F(x): Es la función que presenta la asíntota

Asíntotas en funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en los puntos en que se anula el argumento (x=0 en el caso de las dos gráficas)

CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

3.8

Una función ƒ es continua en un intervalo abierto (a,b) si y solo si es continua en cada punto en (a,b). ƒ es continua en un intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en (a,b), el límite por el lado derecho de ƒ en x=a es ƒ(a) y el límite por el lado izquierdo de ƒ en x=b es ƒ(b). Es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo. La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

3.9

• Discontinuidad evitable: En este caso no se cumple la condición (a) de la definición de continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a.

También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y , pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando como valor de la función el resultado del límite.

• Discontinuidad de salto: Existen los límites laterales pero son distintos.
• Discontinuidad infinita: Al menos uno de los límites laterales no existe

TEMAS DE LA COMPETENCIA 4

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

4.1

La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, que tan rápido se está produciendo una variación Interpretación de la derivada Sea una función con derivada en todo su dominio. La derivada de la función puede interpretarse de las siguientes tres maneras: • (i) La razón de cambio instantánea de la variable con respecto a la variable independiente de la función . • (ii) La pendiente de la recta tangente a la curva en uno de sus puntos. • (iii) La mejor aproximación lineal a la gráfica de la curva en uno de sus puntos.

INCREMENTO Y RAZON DE CAMBIO

4.2

Incremento. Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x", el incremento puede ser positivo o negativo. Razón de cambio:Es la medida en que una variable cambia en relación de otra variable. también llamada tasa de cambio, si las variables no dependen de la otra esta tasa o razón es igual a 0 Si dos o mas cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación.

DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION

4.3

La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, incluida la física.

La derivada de una función describe la razón de cambio instantáneo de la función en un cierto punto. Otra interpretación común es que la derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto

DIFERENCIALES

4.4

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

Si tenemos una función derivable. Definimos a la diferencial de como el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente x Para simplificar un poco la notación consideremos y nos quedamos con:

CALCULO DE DERIVADAS

4.5

La derivada de las funciones elementales se calcula recurriendo directamente a la definición, aunque en algunos casos los límites indeterminados que aparecen pueden ser complicados de calcular

REGLA DE LA CADENA

4.6

Es una formula explícita de la derivada de una función compuesta por dos funciones derivables. Establece que la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))⋅g'(x). En otras palabras, nos ayuda a derivar funciones compuestas. Por ejemplo, sin(x²) es una función compuesta porque puede construirse como f(g(x)) para f(x)=sin(x) y g(x)=x²