FUNCIONES CUADRÁTICAS

función cuadrática

Índice

5 Función cuadrática 5.1 Concepto de función cudratica 5.2 Tipos de funciones Cuadráticas 5.3 Ceros o raíces de una función C. 5.4 Ecuación cuadrática 5.4.1 Incompletas 5.4.2 Completas 5.4.3 Naturaleza de las raíces 5.5 Actividad de refuerzo

Gráfica de la función cuadrática

• La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo.
• Si en la función f(x) = ax2 + bx + c, se cumple que a > O, la parábola abre hacia arriba.
• Si en la función f(x) = ax2 + bx + c, se cumple que a < O la parábola abre hacia abajo.

FunciÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c E R y a≠O. En la función cuadrática c es el término independiente. Esta función también es conocida como la función de segundo grado ya que el mayor grado de la variable x es 2 Algunos ejemplos son:.

A parte de lo anterior, la función cuadrática se usa para resolver diferentes problemas, como analizar efectos nutricionales en los organismos, construir estructuras en forma de parábola y hasta para predecir las pérdidas o ganancias en un negocio.

Al ubicar en un plano cartesiano las parejas ordenadas que se obtienen de una tabla de valores de una función cuadrática se modela una curva llamada parábola en la que se identifican los siguientes elementos:

Eje de simetría: recta perpendicular al eje x que pasa por el vértice. Puntos de corte: puntos en los cuales la gráfica interseca los ejes coordenados.

Características de la función cuadrática

• El dominio de la función: f(x) = ax2 + bx + c es el conjunto de los números reales.
• El rango es el intervalo [ k, ∞ ) si la parábola abre hacia arriba o es (-∞, k] si la parábola abre hacia abajo.
• La concavidad en la función f(x) = ax2 + bx + c se determina por el coeficiente de a.

Si a > 0 la parábola abre hacia arriba. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo.

Vértice: punto mínimo o máximo de la parábola. Las coordenadas del vértice se representan mediante la coordenada (h, k) y se determinan por medio de las expresiones

Para determinar los puntos de corte con los ejes, procedemos de la siguiente manera:

• Punto de corte con el eje y: es el punto (0, c). Dicho valor se halla al remplazar la variable x por 0 en la expresión f(x) = ax2 + bx + c.

• Puntos de corte con el eje x: son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y se hallan al sustituir y por 0 en la expresión x2 + bx + c. Se conocen como los ceros de la función.

EJEMPLO 1

Trazar la gráfica de g(x) = x2 + 2x - 3, ubicando las coordenadas del vértice y de los puntos de corte con los ejes.

Solución

Caso 2: f(x) = ax2 + c, donde b = 0 Las parábolas de esta forma tienen como vértice el punto (O, c) y el eje de simetría es el eje y. La gráfica se obtiene trasladando la gráfica de la función f(x), c unidades. • Si c > O la traslación es hacia arriba. • Si c < O, la traslación es hacia abajo.

Tipos de funciones Cuadráticas

Según los valores de a, b y c en la expresión f(x) = ax2 + bx + c, hay cuatro casos que se deben tener en cuenta para graficar una función cuadrática.

Caso 1: f(x) = ax2, donde b = 0 y c = 0 Las parábolas de esta forma tienen como vértice el punto (O, O) y el eje de simetría es el eje y.

• Si a > O, la parábola abre hacia arriba.
• Si a < O , la parábola abre hacia abajo.
• Si lal > 1 la parábola es más estrecha, en relación con la parábola donde a = 1.
• Si 0 < lal < 1, la parábola es más ancha, en relación con la parábola donde a = 1.

Gráfica

EJEMPLO 2

Graficar las funciones dadas en el mismo plano. Luego, compararlas.

Solución

Gráfica

Caso 3: f(x) = ax2 + bx, donde c = 0 En este caso las coordenadas del vértice l(h, k) se pueden hallar por medio de las expresiones: El eje de simetría es una recta paralela al eje y, cuya expresión algebraica es:

EJEMPLO 3

Gráficar la función f(x) = -4x2 + 8,

Caso 4: f (x) = ax2 + bx + c En este caso la gráfica de la función se obtiene trasladando c unidades la gráfica de la función f(x) = ax2 + bx

• Si c > O, la traslación es hacia arriba.
• Si c < O, la traslación es hacia abajo.

Solución

Gráfica

ejemplo 4

ejemplo 5

Gráficar la función f(x) = -2x2 - 8x,

Gráficar la función f(x) = -2x2 - 4x - 4,

Solución

ejemplo 6

ejemplo 7

Durante el viaje de un crucero se presenta una emergencia que obliga al capitán del barco a disparar una señal luminosa para alertar y recibir ayuda oportunamente. El movimiento está descrito por la función h(t) = 80t - 5t2, donde h es la altura (en m) que alcanza la señal y t el tiempo (en s) que ha recorrido después del disparo.

Determinar, el vértice, el eje de simetría, la traslación c (si la hay) y dos puntos más de la parábola f(x) = -x2 - 2x + 3,

• ¿Cuántos segundos pasan después del disparo hasta que la señal luminosa alcanza su máxima altura?
• ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la señal?

Solución

Caso 3. La parábola no corta el eje x

• La función no tiene solución en los números reales. Sus raíces 0 ceros son números complejos.

Ceros o raíces de una función cuadrática

Los ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática son los puntos de corte de la parábola con el eje x. Se presentan tres casos:

EJEMPLO 8

Caso 1. La parábola corta el eje x en un solo punto.

• En este caso, se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en el vértice. .

Graficar la función f(x) = x2 - 8x + 16. Luego, determinar los ceros o las raíces.

Caso 2. La parábola corta el eje x en dos puntos:

• En este caso, se dice que la función tiene dos raíces reales diferentes.

Solución

ejemplo 9

ejemplo 10

Determinar a partir de las gráficas de g(x) = x2 - 2x y h(x) = 2x2 + 8x + IO si tienen raíces reales.

Con base en la gráfica dada, determinemos el tipo y las soluciones o raíces para cada función. ,

Solución

ecuación cuadrática

En general, las ecuaciones con una incógnita, cuyo mayor exponente es 2, se llaman ecuaciones de segundo grado. Por ejemplo, 3x2 - 4 = 0, x2 = 125,

Como ya lo hemos estudiado en temas anteriores, cuando hablamos de ecuaciones sabemos que se trata de una expresión que contiene un valor desconocido, además de que puede contener una o dos variables, Ahora, estudiaremos expresiones como: x2 + 4x = 1, que corresponde a una ecuación cuadrática.

Solución de ecuaciones cuadráticasResolver una ecuación cuadrática consiste en hallar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Para hallar la solución de una ecuación cuadrática, aplicamos las propiedades de las igualdades y efectuamos las operaciones reduciendo términos semejantes.

Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, c E R y a ≠O se denomina ecuación cuadrática. El término ax2 es el término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente.

Las ecuaciones cuadráticas se pueden clasificar en:

• completas

• incompletas:

Caso 2: Ecuaciones de la forma ax2 + bx = O

• Para resolver ecuaciones cuadráticas que tengan esta forma se realizan los siguientes pasos:

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas existen tres casos.

Caso 1: Ecuaciones de la forma ax2 = 0

• Para resolver estas ecuaciones se realiza el siguiente procedimiento.

.

• Luego, todas las ecuaciones cuadráticas de esta forma tienen como única solución x = O. .

• Por tanto las ecuaciones de este forma tienen dos soluciones reales diferentes:

EJEMPLO 11

Caso 3. Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0

• Para resolver las ecuaciones cuadráticas que tienen esta forma, se realizan los siguientes pasos:

Resolver las siguientes ecuaciones

a) 5x2 - 20 = 0

b) 6x2 - 10x = 0

• Por lo tanto, las ecuaciones de esta forma tienen dos soluciones:

• siempre y cuando la cantidad sea a positiva, De lo contrario no tiene solucion en los reales.

c) -25x = 75x2

d) (2x + 1)2 = 15x + 1

Solución

ejemplo 12

ejemplo 13

Hallar el valor de x a partir del área de la figura.

La expresión para calcular la distancia que recorre un objeto cuando se deja caer a una determinada altura es:d(t)= 4,9t2, donde d(t) es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos. Si se demora en caer al suelo 32 segundos, ¿cuál es la distancia que recorrió?

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

• Primero, el trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término de la ecuación.

• Segundo, el signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término bx y el signo del segundo binomio corresponde a la multiplicación de los signos de bx y de c.

• Tercero , se hallan dos números que sumados o restados den como resultado el coeficiente del segundo término b, y multiplicados den el coeficiente c.

• Finalmente, se iguala cada binomio a cero y se despeja x en cada caso.

Una ecuación cuadrática completa, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, y c E R y b, c ≠ O, se puede resolver utilizando algunos métodos corno la factorización, completando cuadrados o por fórmula general.

Solución de ecuaciones cuadráticas de la forma x2 + bx + c = 0 En este caso, consideramos la factorización de la expresión x2 + bx + c teniendo en cuenta los siguientes pasos:

ejemplo 14

ejemplo 15

Resolver por factorización la siguiente ecuación.

Resolver por factorización las siguientes ecuaciones.

a) x2 - 7x + 12 = 0 b) x2 - x - 6 = 0

ejemplo 17

Solución de ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0 Para este tipo de ecuaciones se sigue el mismo procedimiento que en el caso anterior: factorizamos el trinomio ax2 + bx + c, luego, igualamos cada factor a cero y finalmente, despejamos la variable.

A partir del área del rectángulo y las longitudes de sus lados, determinemos el valor o valores de x.

EJEMPLO 16

Resolver por factorización la ecuación:

Solución

ejemplo 18

Solución de ecuaciones mediante la fórmula general Al completar cuadrados a partir de la expresión ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son a ≠ 0, se puede deducir la fórmula general para solucionar cualquier ecuación cuadrática.

Hallar la solución de la ecuación cuadrática 6x2 + 3x - 3 = 0 utilizando la fórmula general.

Demostración

Las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 son:

Solución

Solución

ejemplo 19

ejemplo 20

Simplificar la siguiente expresión algebraica. Luego, resolver la ecuación aplicando la fórmula general.

Una cancha de tenis mide 12,8 m más de largo que de ancho. Si su área total es de 261 m2, ¿es posible encontrar las dimensiones de la cancha?

Solución

Solución

ejemplo 21

ejemplo 22

Expresa cada ecuación de la forma ax2 + bx + c = O. Luego, encuentra sus soluciones utilizando la fórmula general.

Resolver la ecuación utilizando la fórmula general.

ejemplo 23

Naturaleza de las raíces Para determinar qué tipo de soluciones tiene una ecuación cuadrática, se analiza el discriminante de la ecuación que corresponde a la expresión b2 — 4ac.

Evaluar el discriminante de cada ecuación cuadrática. Luego, indicar cómo son las soluciones de cada una:

Dependiendo del valor del discriminante, se puede analizar cómo son las soluciones de la ecuación cuadrática según los siguientes tres casos: b2 - 4ac > O, Dos soluciones reales diferentes b2 - 4ac = O, Única solución real. b2 - 4ac < O, Dos soluciones complejas difer.

Solución

Forma de la gráfica

Solución

¡GRACIAS por la atención!

actividad de refuerzo

A continuación resuelve las actividades propuestos para reforzar las temáticas vistas. No se debe entregar.