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Distribución de Probabilidad Continua

¿Qué es la función de densidad?

La función de densidad, también llamada función de densidad de probabilidad, es una función matemática que describe la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un determinado valor.

Es decir, la función de densidad asociada a una variable define matemáticamente las probabilidades de que la variable tome cualquier valor. Por ejemplo, imaginemos que la probabilidad de que una persona adulta mida más de 1,80 m en una población es del 35%, entonces la función de densidad indicará un 35% de probabilidades al hacer el cálculo de dicha probabilidad. En ocasiones, la función de densidad de probabilidad se abrevia mediante las siglas FDP.

Calcular una probabilidad con la función de densidad

Para hallar la probabilidad de que una variable continua tome un valor dentro de un intervalo, se debe calcular la integral de la función de densidad asociada a dicha variable entre los límites del intervalo.

Donde f(x)es la función de densidad de la variable aleatoria continua.

O dicho de otro modo, la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo es equivalente al área debajo de la función de densidad en ese intervalo.

Ten en cuenta que el cálculo de la probabilidad solo se puede hacer de esta manera si la variable estadística sigue una distibución continua, tales como la distribución normal, la distribución exponencial, la distribución de Poisson, etc.

Propiedades de la función de densidad

La función de densidad cumple con las siguientes propiedades:

El valor de la función de densidad es nulo o positivo para cualquier valor de x.

Además, el valor máximo de la función de densidad es igual a 1.

De hecho, el área total bajo la gráfica de la función de densidad siempre es equivalente 1 independientemente de la variable, ya que corresponde al conjunto de todas las probabilidades.

Tal y como se ha explicado en el apartado anterior, la probabilidad de que una variable continua tome un valor dentro de un intervalo se calcula con la integral de la función de densidad en ese intervalo.

Función de densidad y función de distribución

En este último apartado, veremos en qué se diferencian la función de densidad y la función de distribución, pues son dos tipos de funciones probabilísticas que se confunden habitualmente.

Matemáticamente, la función de distribución es equivalente a la integral de la función densidad, por lo tanto, la función de distribución describe la probabilidad acumulada de una variable continua. Es decir, la imagen de la función de distribución para un valor cualquiera es igual a la probabilidad de que la variable tome dicho valor o uno inferior. De modo que la relación matemática entre estos dos tipos de funciones es la sigiuente

Donde f(x) es la función de densidad y F(x)es la función de distribución.

Fíjate cómo cambia la representación gráfica de la función de densidad respecto a su función de distribución de una variable que sigue una distribución normal con una media de 1 y una desviación estándar de 0,5:

https://www.probabilidadyestadistica.net/funcion-de-densidad/

Bibliografia adicional de interés conceptual

Ejemplo Nº 1 de distribución exponencial

Ejemplo Nº 2 de distribución exponencial

Ejemplo Nº 3 de distribución exponencial