ECUACIÓN DE LA RECTA (TEMA 9)

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

04:00

ACTIVIDAD DE APERTURA

Tema:

Pienso:

Ahora pienso:

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

La línea recta es uno de los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica, algunos de los más utilizados son: 1. Una línea recta es el lugar geométrico en un plano formado por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. 2. Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, de los cuales al tomar dos cuales quiera, el valor de la pendiente m, es siempre constante. 3. Es el lugar geométrico formado por un polinomio de primer grado de la forma y= mx + b.

Introducción:

El concepto de línea recta es una noción que adquirimos al observar los objetos que nos rodean: una cuerda tensa, la arista de una figura geomética, la trayectoria de un objeto que cae.

¿Con que propósito? Reconocerás distintas formas de ecuaciones de la recta y transformaras ecuaciones lineales de una forma a otra, utilizando distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana; así mismo, aprenderás el estudio de propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas.

Reflexiona: Si vas a la tienda en bicicleta y generalmente tardas 20 minutos; pero un día tuviste que ir caminando. ¿Cómo sabrás cuanto tiempo harías? ¿de qué depende si llegas más o menos rápido?

La definición de la recta como lugar geométrico permite hallar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones geométricas; por ejemplo, su pendiente y uno de sus puntos P (x, y) o dos de sus puntos. En lo que resta del bloque aprenderemos a determinar la ecuación de una recta en las formas:

• Punto-pendiente.
• Pendiente- ordenada en el origen.
• Forma simétrica.
• Forma general
• Forma normal.

Todos los tipos de ecuaciones de la recta sirven para lo mismo: representar matemáticamente una recta. Pero cada ecuación de la recta tiene sus propiedades y, por lo tanto, dependiendo del problema es mejor usar una u otra.

Por añadidura, los siguientes son temas que abordaremos:

• Reducción de la ecuación de una recta de la forma general a la forma normal.

• Calculo de la distancia de un punto P (x, y) a una recta.

• Determinación de la distancia de un punto P (x, y) a una recta.

• Determinación de la distancia entre dos rectas paralelas entre sí.

TEMA

Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente

Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente

Empecemos por recordar que la ecuación de una rectas una ecuación lineal, en la que las variables x y y no aparecen nunca elevadas a ningún exponente diferente de 1; es decir:

ax + by = c y = ax + b y - y1=m( x - x1)

Ecuación de la recta en la forma punto pendiente

Ejemplo

Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,5) y tiene pendiente m=4

ACTIVIDAD EN CLASE

Encuentra la ecuación de la recta en su forma punto pendiente.

1. A(5,6) m=3 2. B(-3,4) m=-2 3. C(6,-3) m= -2/3

TEMA

Ecuación de la recta en la forma dos puntos

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta dos puntos que pasan por A(5,2) y B(3,6)

ACTIVIDAD EN CLASE

Hallar la ecuación de la recta dos puntos que pasan por A(0,-1) y B(2,5) Hallar la ecuación de la recta dos puntos que pasan por A(-2,2) y B(1,-7) Hallar la ecuación de la recta dos puntos que pasan por A(-1,-5/2) y B(2/3,-5/3)

TEMA

Ecuación de la recta en la forma pendiente- ordenada en el origen

Ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada en el origen.

Veamos un caso particular de la ecuación en la forma punto-pendiente, la denominada pendiente- ordenada en el origen. Si la recta de pendiente m corta el eje y en el punto P (0, b); de acuerdo con la ecuación de la forma punto pendiente tenemos que:

Cuando se tiene la ecuación de una recta expresada de este modo, entonces está escrita en la forma pendiente- ordenada en el origen.

Donde: y= variable dependiente m=pendiente de la recta x= variable independiente b= intersección con el eje de las ordenadas y la ordenada b recibe el nombre de ordenada en el origen o intersección con el eje y porque es el valor de y cuando x=0.

Ejemplo

Obtener la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen que pasa por el punto A(-2,5) y tiene pendiente m=4

ACTIVIDAD

Encuentra la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen.

1. A(5,6) m=3 2. B(-3,4) m=-2 3. C(6,-3) m= -2/3

Ecuación de la recta en la forma pendiente- ordenada en el origen

Ejemplos

ACTIVIDAD

ACTIVIDAD EN CLASE

TEMA

Ecuación de la recta en forma simétrica

Cuando conocemos las intersecciones de la recta con los ejes coordenados podemos expresarla en la forma:

En los temas anteriores aprendiste a calcular la ecuación cuando se conocen dos de sus condiciones: un punto y la pendiente. Las formas que calculaste fueron: Forma pendiente ordenada al origen: y=mx+b Forma punto-pendiente:

Esto lo observamos en la siguiente figura:

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Esta forma de representar una recta se le llama: forma simétrica de la ecuación de una recta.

Ejemplo 1

Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la recta y= 3x-6

Ejemplo 2

Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la recta 8x-2y-16= 0

ACTIVIDAD EN CLASE

1. Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la recta y=5x-10 2. Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la recta y= 2x-12 3. Expresar en su forma simétrica la ecuació de la recta 6x-3y=18 y obtener el valor de su pendiente.

TEMA

Ecuación de la recta en la forma general

ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA GENERAL

La ecuación de la forma Ax+By+C=0 se le llama ecuación general de la recta, donde A, B y C son números reales y A y B no pueden ser nulos ( iguales a cero) simultáneamente. Con esta ecuación es posible determinar todas las rectas posibles, sin excepción. Consideremos tres casos en los que la ecuación Ax+By+C=0 está incompleta.

Caso 1

Si C=0, la ecuación es de la forma Ax+By=0, lo que determina una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas, ya que x=0 y y=0 satisfacen la ecuación Ax+By=0

Ejemplo 4x+2y = 0

Caso 2

Cuando B=0 y A≠0. En este caso, lógicamente la ecuación de la recta es la forma Ax+C=0 , lo que determina una recta paralela al eje y.

Ejemplo: 4x+8=0

Caso 3

Cuando A=0 y B≠0.La ecuación de la recta es la forma By+C=0 , lo que determina una recta paralela al eje x.

Ejemplo 2y+8=0

Ejemplos:Ecuación de la recta en la forma general.

Determinación de la pendiente y la ordenada al origen a partir de la ecuación general

Determinación de la pendiente y la ordenada al origen a partir de la ecuación general

Despejamos la variable y de la ecuación general de la recta, cuya forma es Ax+By+C=0, siendo A y B diferentes de cero:

Esta es la forma pendiente ordenada en el origen

y= mx + b

INTERSECCIÓN DE RECTAS

INTERSECCIÓN DE RECTAS Dos rectas se intersectan (cruzan) cuando ambas coinciden en un solo punto del plano cartesiano. Para que esto suceda, ambas rectas deben poseer diferente pendiente. La figura 1 muestra gráficamente la intersección de dos rectas

Esta figura permite ver claramente como la recta 1 y la recta 2 se intersectan en un solo punto, el cual es común a las dos rectas. Esto significa que es posible determinar exactamente por métodos analíticos el par ordenado que es común a ambas rectas, si conocemos las ecuaciones que las modelan. El procedimiento consiste en calcular los valores de x y y que satisfagan de manera simultánea las dos ecuaciones.

ACTIVIDAD GRUPAL

ACTIVIDAD PÁGINA 76(COLOR)

(2,1)

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ECUACIÓN NORMAL DE UNA RECTA

ACTIVIDAD

pag. 39 problemas 1 y 4 ( blanco y negro)

Video

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

De acuerdo a la expresión

Ejemplo 1

Ejemplo: reducir la ecuación 12x-5y+52=0

Actividad en clase página 81

Actividad de enseñanza 10

Distancia de un punto a una recta

Objetivo: Los alumnos resolverán problemas del libro de texto en los que se pida calcular distancia de un punto a una recta fuera del origen.

Ejemplos

TAREA

Página 84

ACTIVIDAD DE CIERRE

04:00

04:00

Tema:

Pienso:

Ahora pienso:

Gracias

abraham.maldonado@iest.edu.mx

4. determina si las rectas r1 y= -2x +5 y r2 y=1/2 x-3 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.

Ejemplo 3: Encuentra la forma general de la ecuación de la recta

Ejemplo 1: Encuentra la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,2) y tiene una pendiente de -1/2

Ejemplo 2: Encuentra la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-4,-4) y B (1,6).

2.Encuentra la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada en el origen cuya ordenada es 3 y es paralela a la recta cuya ecuación es y= -4x+5

1.Encuentra la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada en el origen cuya pendiente es 3 y la ordenada es -4

3.Encuentra la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada en el origen cuya ordenada es -4 y es perpendicular a la recta cuya ecuación es y= 3x-6