Cálculo de Límites

Cálculo de Límites

procedimiento para calcular límites

01

Introducción

COMIENZO

02

03

Notación de Límites

Procedimiento para Calcular Límites

04

05

Teorema de los Límites

Continuidad de Funciones

06

07

Cálculo de Límites

Cálculo de Límites

08

Referencias

FINAL

Introducción

Definición de límite de una función: El límite de una función f(x) en x=a se denota como lim(x→a) f(x) y representa el valor al cual f(x) se acerca cuando x se acerca a a. Importancia del cálculo de límites en matemáticas y análisis: Los límites son fundamentales para entender el comportamiento de las funciones en puntos críticos y para resolver problemas en física, ingeniería y otras disciplinas.

Notación de Límites

Símbolos de límite: lim(x→a) f(x). Explicación de los componentes de la notación: "lim" indica que estamos calculando un límite, "x→a" muestra hacia qué valor de "a" nos acercamos, y "f(x)" es la función que estamos evaluando.

Procedimiento para Calcular Límites

Paso 1: Sustitución directa: Sustituye "a" en la función y calcula el límite.Paso 2: Factorización: Factoriza la función y simplifica antes de aplicar el límite. Paso 3: Racionalización: Multiplica y divide por una expresión adecuada para eliminar indeterminaciones. Paso 4: Multiplicación por el conjugado: Multiplica y divide por el conjugado para eliminar indeterminaciones de la forma 0/0. Paso 5: Uso del Teorema del Sándwich: Utiliza el Teorema del Sándwich para determinar límites difíciles.

Teorema de los Límites

El teorema establece condiciones bajo las cuales los límites pueden simplificarse y calcularse más fácilmente.

Teorema 1: Si a y c son números reales cualesquiera, entonces: C=C. Teorema 2: Si a es un número real cualquiera: x=a. Teorema 3: Si a, b y c son números reales, entonces: (mx+b) = ma+b. Teorema 4: Si f(x) =L1 y g(x) =L2 entonces: Teorema 5: Si f(x) es un polinomio, entonces f(x) = f(a). Teorema 6: Si f(x) = L y n es un entero positivo, entonces [f(x)]n =Ln. Teorema 7: Si f(x) =L, entonces n√f(x) = n√L Si L > 0 y n es un entero positivo. O si: Si L < 0 y n es un entero impar positivo. Teorema 8: (Para límites Unilaterales) El límite de f(x) = L si y sólo si f(x) = f(x) =L Si f(x) ≠ f(x) entonces f(x) =L no existe. Teorema 9: (Para límites al infinito) Teorema 10: Teorema 11: Si c es cualquier número real, f(x) = 0 y g(x) = c con c≠0.

Continuidad de Funciones

Una función es continua en un punto si el límite en ese punto existe, el valor de la función está definido en ese punto y ambos coinciden. Tipos de Discontinuidades: Discontinuidad de Salto: La función tiene un cambio abrupto en un punto (por ejemplo, f(x) = |x| en x = 0). Discontinuidad Infinita: El límite se vuelve infinito o no existe en un punto (por ejemplo, f(x) = 1/x en x = 0). Discontinuidad Evitable: Se puede eliminar mediante factorización y simplificación (por ejemplo, f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) en x = 1). La continuidad y las discontinuidades son conceptos esenciales para comprender el comportamiento de las funciones en diferentes puntos de su dominio y para evaluar la existencia de límites en esos puntos.

Cálculo de Límites

A poner en practica lo aprendido! Ejemplo 1: Calcular lim(x→3) (x^2 - 9) / (x - 3). Paso 1: Factorización y Simplificación Factorizamos la expresión (x^2 - 9) como (x + 3)(x - 3). Luego, simplificamos la fracción [(x + 3)(x - 3)] / (x - 3) cancelando los términos comunes. Paso 2: Cálculo del LímiteCon la expresión simplificada, podemos calcular el límite: lim(x→3) (x + 3). Sustituimos "x" por "3" para obtener 3 + 3 = 6. Resultado: El límite es igual a 6. Ejemplo 2: Calcular lim(x→0) (sin(3x) / x). Paso 1: Uso del Teorema del Sándwich Utilizamos el Teorema del Sándwich para simplificar el cálculo. Sabemos que -1 ≤ sin(3x) ≤ 1 para todos los valores de "x". Multiplicando por "x", obtenemos -x ≤ x * sin(3x) ≤ x. Paso 2: Cálculo del LímiteCalculamos el límite para cada parte de la desigualdad: lim(x→0) -x = 0 (porque -x tiende a 0 cuando x tiende a 0). lim(x→0) x = 0 (ya que x tiende a 0). Dado que -x ≤ x * sin(3x) ≤ x y ambos lados tienden a 0, por el Teorema del Sándwich, el límite de x * sin(3x) cuando x tiende a 0 es igual a 0. Resultado: El límite es igual a 0.

Cálculo de Límites

Ejemplo 3: Calcular lim(x→π/2) (tan(x)). Paso 1: Reconocer la Discontinuidad Observamos que la función tangente tiene una discontinuidad infinita en x = π/2, ya que tiende a infinito (positivo o negativo) en ese punto. Resultado: El límite no existe debido a la discontinuidad infinita en x = π/2. Ejemplo 4: Calcular lim(x→∞) (1/x). Paso 1: Cálculo del Límite A medida que "x" tiende a infinito, la función 1/x se acerca cada vez más a 0. Resultado: El límite es igual a 0. Estos ejemplos demuestran cómo se resuelven paso a paso distintos tipos de cálculos de límites, lo que es esencial en el análisis de funciones y el cálculo.

Referencias

Marta. (2023, 1 septiembre). Funcion continua | Superprof. Material Didáctico - Superprof. Recuperado 17 de septiembre de 2023, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/continuidad-de-una-funcion.html

Cálculo de límites paso a paso. (s. f.). Recuperado 17 de septiembre de 2023, de https://www.problemasyecuaciones.com/limites/calculo-limites-explicados-metodos-reglas-procedimientos-indeterminaciones-grados-infinito-resueltos.html

Límites y Continuidad de Funciones | Khan Academy. (s. f.). Khan Academy. Recuperado 17 de septiembre de 2023, de https://es.khanacademy.org/math/eb-5-semestre-bachillerato-nme/x7193c35109289ad8:limite-y-continuidad-de-funciones