Cálculo integral ACF-0902
Bienvenido al
Subtema 2.3.6Fracciones parciales parte dos
Caso 3. Factores Cuadráticos
6.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
El primer término es un factor lineal, el segundo término es un factor cuadrático que no es reducible a dos factores lineales.
Un factor cuadrático se descompone como dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad
Como es una igualdad se forma el SEL(sistema de ecuaciones lineales) de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
De la ecuación 3 despejamos C
De la ecuación 1 despejamos B
Por lo tanto, sustituyendo en la integral
En las dos primeras integrales utilizaremos un cambio de variable, el resultado es un logaritmo natural, la tercera se realizará un cambio de variable, pero esta integral es una función inversa esto sería una
Sustituyendo el cambio de variable para cada una de los integrales
7.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
Descomponer en fracciones parciales
El primer término es un factor lineal, el segundo término es un factor cuadrático que no es reducible a dos factores lineales.
Un factor cuadrático se descompone como dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad
Como es una igualdad para que se satisfaga debemos de igualar los términos a la ecuación de lado izquierdo, el coeficiente de la debe de ser igual a , luego el coeficiente de x´s debe de ser igual a y por último el término independiente será igual a con esto se forma el SEL de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, esto es:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad.
Este ejercicio lo resolveremos dándole valor a la
Nota: Usted ya decidira que método utilizara para calcular el valor de las constantes.
Le daremos el valor de
Para determinar el valor de B, le daremos un valor arbitrario x´s
Le daremos el valor de
Por lo tanto, sustituyendo en la integral
Separando en dos integrales la integral azul, tenemos
Las dos primeras integrales nos dan como resultado un logaritmo natural y la tercera integral será una función inversa
Realizando el cambio de variable, tenemos
Sustituyendo en la integral
Integrando
Sustituyendo el valor de las variables en el resultado de la integral
8.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
Descomponer en fracciones parciales, el primer factor es un factor lineal el segundo factor es un factor cuadrático que no se puede reducir, la forma de descomponer en fracciones parciales de este es dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Para calcular el valor de las constantes B y C, efectuamos la multiplicación término a término e igualamos a la ecuación de lado izquierdo.
Agrupando términos semejantes
Se igualan a los coeficientes de la ecuación que tenemos a lado izquierdo
Así formamos un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas
De la primera ecuación tenemos y el valor de 4 por lo tanto
De la ecuación tres, tenemos
Sustituyendo en la integral el valor de las constantes, tenemos
Para la primera integral realizaremos un cambio de variable, para la segunda integral la separaremos en dos
Vamos a separar en dos integrales el integral número dos
Resolveremos la integral número dos, con un cambio de variable
Como no completamos el diferencial sacamos el dos de factor
Para completar el diferencial a esta integral debemos de sumar y restar para que la integral no se altere. Separaremos nuevamente en dos integrales:
Descomponemos en dos integrales, tenemos la tercera integral que es esta roja
La primera integral color rosa ya esta dada es un logaritmo natural, la segunda integral se sumará con la integral roja, son iguales por lo tanto nos queda menos una integral
Nos queda la última integral
Primero debemos de completar cuadrados, para ver si le podemos dar la forma de una
Sustituyendo este valor en la integral, tenemos
Realizando el cambio de variable
Por lo tanto, la solución de esta integral será
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No olvides que puedes recurrir al correo del Docente o al chat para aclarar cualquier duda.
Espero que hayas disfrutado el subtema 2.3.6
¡Te deseo éxito en tu evaluación!
Por tu atención, ¡muchas gracias!
2.3.6 Parte B Fracciones parciales parte dos
María Gricelda Paman
Created on September 17, 2023
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Cálculo integral ACF-0902
Bienvenido al
Subtema 2.3.6Fracciones parciales parte dos
Caso 3. Factores Cuadráticos
6.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
El primer término es un factor lineal, el segundo término es un factor cuadrático que no es reducible a dos factores lineales.
Un factor cuadrático se descompone como dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad
Como es una igualdad se forma el SEL(sistema de ecuaciones lineales) de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
De la ecuación 3 despejamos C
De la ecuación 1 despejamos B
Por lo tanto, sustituyendo en la integral
En las dos primeras integrales utilizaremos un cambio de variable, el resultado es un logaritmo natural, la tercera se realizará un cambio de variable, pero esta integral es una función inversa esto sería una
Sustituyendo el cambio de variable para cada una de los integrales
7.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
Descomponer en fracciones parciales
El primer término es un factor lineal, el segundo término es un factor cuadrático que no es reducible a dos factores lineales.
Un factor cuadrático se descompone como dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad
Como es una igualdad para que se satisfaga debemos de igualar los términos a la ecuación de lado izquierdo, el coeficiente de la debe de ser igual a , luego el coeficiente de x´s debe de ser igual a y por último el término independiente será igual a con esto se forma el SEL de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, esto es:
Le daremos el valor de
Como el otro factor es un cuadrático no podremos calcular el valor de las constantes. Vamos a efectuar la multiplicación término a término, agruparemos términos semejantes del lado derecho de la igualdad.
Este ejercicio lo resolveremos dándole valor a la
Nota: Usted ya decidira que método utilizara para calcular el valor de las constantes.
Le daremos el valor de
Para determinar el valor de B, le daremos un valor arbitrario x´s
Le daremos el valor de
Por lo tanto, sustituyendo en la integral
Separando en dos integrales la integral azul, tenemos
Las dos primeras integrales nos dan como resultado un logaritmo natural y la tercera integral será una función inversa
Realizando el cambio de variable, tenemos
Sustituyendo en la integral
Integrando
Sustituyendo el valor de las variables en el resultado de la integral
8.
Como el grado de descomponemos en fracciones parciales.
Descomponer en fracciones parciales, el primer factor es un factor lineal el segundo factor es un factor cuadrático que no se puede reducir, la forma de descomponer en fracciones parciales de este es dividido entre el factor cuadrático.
Resolveremos la ecuación del denominador del factor lineal
El MCD es ya que son los factores que son diferentes. (Debemos de cuidar que sea el mismo denominador que el término de lado izquierdo de la igualdad).
Como los denominadores son iguales entonces la igualdad que nos queda seria la siguiente:
Le daremos el valor de
Para calcular el valor de las constantes B y C, efectuamos la multiplicación término a término e igualamos a la ecuación de lado izquierdo.
Agrupando términos semejantes
Se igualan a los coeficientes de la ecuación que tenemos a lado izquierdo
Así formamos un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas
De la primera ecuación tenemos y el valor de 4 por lo tanto
De la ecuación tres, tenemos
Sustituyendo en la integral el valor de las constantes, tenemos
Para la primera integral realizaremos un cambio de variable, para la segunda integral la separaremos en dos
Vamos a separar en dos integrales el integral número dos
Resolveremos la integral número dos, con un cambio de variable
Como no completamos el diferencial sacamos el dos de factor
Para completar el diferencial a esta integral debemos de sumar y restar para que la integral no se altere. Separaremos nuevamente en dos integrales:
Descomponemos en dos integrales, tenemos la tercera integral que es esta roja
La primera integral color rosa ya esta dada es un logaritmo natural, la segunda integral se sumará con la integral roja, son iguales por lo tanto nos queda menos una integral
Nos queda la última integral
Primero debemos de completar cuadrados, para ver si le podemos dar la forma de una
Sustituyendo este valor en la integral, tenemos
Realizando el cambio de variable
Por lo tanto, la solución de esta integral será
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