Reto 5. Límites y continuidad de una función

Límite de una función

Un límite nos dice el valor al que una función se aproxima conforme sus valores de entrada se acercan cada vez más a cierto número.

El límite de una función en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada 'y', o también llamada imagen) a medida que la coordenada 'x' se aproxima a 'a'.

lim f(x) = L

x → a

PROCEDIMIENTOS PARA CALCULAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Paso 1

Sustituir el valor x en la función f(x).

f(x) = x+4

f(x) = 2x2 + 1

lim x + 4

x → 2

lim 2x2 + 1

x → —3

= (2) + 4

= 2(—3)2 + 4

= 6

=18+4 = 22

Si el resultado es un número real o un valor infinito, ese será el resultado.

Paso 2

En caso de no obtener un número real o un valor infinito, dando como resultado una indeterminación, es decir 0/0 o ∞/∞, se utiliza la factorización o simplificación, con el fin de eliminar dicha indeterminación.

f(x) = x2—1/x—1

lim x2—1/x—1

lim (x+1)(x—1) / (x—1)

x → 1

x → 1

lim (x+1)(x—1) / (x—1)

= (1)2 — 1 / (1) — 1= 1— 1 / 1 —1= 0/0

x → 1

=(1) + 1 =2

Paso 3

También, otra forma de resolver la límite de una función es utilizando propiedades de los límites, como la suma, resta, multiplicación, división y composición de límites.

Introducción a límites. (s.f.). Obtenido de Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/a/limits-intro Límite De Una Función. (s.f.). Obtenido de hiru.eus: https://www.hiru.eus/es/matematicas/limite-de-una-funcion Yagües, J. L. (s.f.). Límite de una Función en un Punto. Obtenido de FisicaLab: https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-limite-funcion Storyset (s,f) Imágenes de Storyset. Obtenido de Freepik: https://www.freepik.es/

Límite de una función

Un límite nos dice el valor al que una función se aproxima conforme sus valores de entrada se acercan cada vez más a cierto número.

El límite de una función en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada 'y', o también llamada imagen) a medida que la coordenada 'x' se aproxima a 'a'.

lim f(x) = L

x → a

PROCEDIMIENTOS PARA CALCULAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Paso 4

Si se sigue obteniendo indeterminado al calcular el límite, se puede aplicar la regla de L'Hopital, que permite encontrarlo al tomar el límite de sus derivadas. Esta técnica es útil en casos de límites de funciones racionales o irracionales en los que la sustitución directa no funciona y la indeterminación es 0/0.

f(x) = x5 — 32 / x3 —8

lim (x5 — 32)' / (x3 — 8)'

lim x5 — 32 / x3 — 8

x → 2

x → 2

lim 5x4 / 3x2

= (2)5 — 32 / (2)3— 8= 32—32/8—8 = 0/0

x → 2

= 5(2)4/3(2)2 = 80/12= 20/3

Paso 5

También existen opciones como el uso de límites especiales, y la graficación, que ayuda a visualizar cómo se comporta la función a medida que (x) se acerca al valor en cuestión. Si aún no se consigue encontrar el valor del límite, se recomienda probar con otras transformaciones, tales como la algebraica, trigonométrica o trascendental.

¡Recuerda!

Estos son sólo alguno de los métodos generales que existen. El cálculo de límites puede llegar a ser más complejo en situaciones particulares y se pueden requerir técnicas adicionales dependiendo de la función.

Introducción a límites. (s.f.). Obtenido de Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/a/limits-intro Límite De Una Función. (s.f.). Obtenido de hiru.eus: https://www.hiru.eus/es/matematicas/limite-de-una-funcion Yagües, J. L. (s.f.). Límite de una Función en un Punto. Obtenido de FisicaLab: https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-limite-funcion Storyset (s,f) Imágenes de Storyset. Obtenido de Freepik: https://www.freepik.es/